第九讲：函数解析式

学习目标

• 能根据题目结构选择求解析式的方法。
• 掌握待定系数法、配凑法、换元法和方程组法。
• 会用赋值法处理抽象函数关系。
• 能在求出解析式后补充必要的定义域。

前置知识

请先掌握函数三要素、整体代入、恒等式、二次函数三种形式和简单方程组。

核心概念

“求函数解析式”不是固定套一个公式，而是识别题目给出的信息类型：

• 已知函数类型：待定系数法；
• 已知 $f(g(x))$ 且括号整体容易配出：配凑法；
• 括号整体适合另设变量：换元法；
• 同时出现 $f(x)$ 与 $f(-x)$、$f(1/x)$：方程组法；
• 给出抽象函数等式：赋值法。

看到 $f(g(x))$，先把 $g(x)$ 当成整体。换元时必须写新变量范围；最后写 $f(x)$ 时，也要把这个范围带回去。

老师讲解

待定系数法

已知函数类型时，先设一般形式，再比较系数。

若一次函数 $f(x)=kx+b$ 满足

$\displaystyle f(f(x))=4x-1,$

代入并比较系数可得到两组可能：

$\displaystyle f(x)=2x-\frac13\quad\text{或}\quad f(x)=-2x+1.$

若已知二次函数的对称轴为 $x=2$、最大值为 $5$，顶点式最直接：

$\displaystyle f(x)=a(x-2)^2+5.$

再由 $f(0)=1$ 求出 $a=-1$。

配凑法

已知

$\displaystyle f(x+1)=2x^2+5x+2,$

把右边全部改写成 $x+1$ 的表达式：

$\displaystyle 2(x+1)^2+(x+1)-1.$

因此

$\displaystyle f(x)=2x^2+x-1.$

配凑法本质是“脑内换元”，适合括号整体简单、容易直接整理的题。

换元法

已知

$\displaystyle f(\sqrt{x}+1)=x+2\sqrt{x},$

令

$\displaystyle t=\sqrt{x}+1,\qquad t\ge1.$

则 $\sqrt{x}=t-1$，右边为

$\displaystyle (t-1)^2+2(t-1)=t^2-1.$

所以

$\displaystyle f(x)=x^2-1,\qquad x\ge1.$

课堂四步是：换元、写范围、反表示、写 $f(t)$。

方程组法

若

$\displaystyle f(-x)+2f(x)=x^2-2x,$

把 $x$ 换成 $-x$，得到第二个方程，再联立消元，可求得

$\displaystyle f(x)=\frac{x^2}{3}-2x.$

同理，出现 $f(x)$ 与 $f(1/x)$ 时，把 $x$ 换成 $1/x$，但必须先检查 $x\ne0$ 和参数是否使方程组退化。

赋值法

抽象函数等式的关键是把变量赋成 $0$、$1$、相反数或其他能消元的值。

例如

$\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy.$

先令其中一个变量为 $0$ 确定 $f(0)$，再观察交叉项 $2xy$ 与

$\displaystyle (x+y)^2-x^2-y^2$

完全一致，可得到 $f(x)=x^2$。

典型例题

已知 $f(x+1)=2x^2+5x+2$。题目中的整体是 $x+1$，把右边全部配成它的式子，得到 $f(x)=2x^2+x-1$。

出现 $f(-x)$ 与 $f(x)$ 时，把 $x$ 换成 $-x$ 再联立；出现 $f(1/x)$ 时，把 $x$ 换成 $1/x$。这两类题的共同本质是制造第二个独立方程。

常见错误

换元后只求出形式，漏写新变量范围，导致解析式的定义域错误。

方程组法换成 $1/x$ 时忘记 $x\ne0$，或漏查参数导致的退化情形。

已知函数类型却使用复杂换元，增加计算量和出错机会。

方法总结

先识别信息类型再选方法：知类型用待定系数，整体易整理用配凑，整体复杂用换元，对称位置同时出现用方程组，抽象恒等式用赋值。无论哪种方法，最后都要补查定义域。

自我检查

1. 配凑法与换元法的本质联系是什么？
2. 方程组法为什么要做对称代换？
3. 哪些信号说明应优先使用待定系数法？
4. 赋值法最常尝试哪些特殊值？