第八讲：函数的概念

学习目标

理解函数是数集之间的对应，并能说清定义域、值域和对应法则。
会求具体函数与抽象函数的定义域。
会用定义域和对应法则判断两个函数是否相同。
会处理一次分式函数的定义域、值域与图像特征。
会用换元法求含根式函数的值域，并写清新变量范围。

前置知识

需要熟悉集合、区间、一元二次不等式、分式不等式和根式的基本运算。

核心概念

函数的现代定义可以概括为：给定两个非空数集 $A,B$ ，按照某个确定的对应关系 $f$ ，对于集合 $A$ 中任意一个数 $x$ ，在集合 $B$ 中都有唯一确定的数 $y$ 与它对应，记作

$\displaystyle y=f(x),\qquad x\in A.$

函数的三个要素是：

定义域：自变量 $x$ 允许取值的集合；
对应法则：从 $x$ 得到 $f(x)$ 的规则；
值域：所有函数值构成的集合。

做任何函数题，第一句话先看定义域。抽象函数定义域始终问的是“外面的 $x$ 能取什么”，不能把括号内整体的范围直接当作答案。

老师讲解

函数记号与整体代入

$f(x)$ 中的字母 $x$ 只是占位符。若 $f(x)=x^2$ ，那么

$\displaystyle f(\sin x)=\sin^2x.$

操作时要把括号中的表达式看成一个整体代入。

具体函数定义域

常见限制只有几类：

偶次根号内必须大于等于 $0$ ；
分母不能等于 $0$ ；
偶次根号位于分母时，根号内必须严格大于 $0$ ；
奇次开方对实数没有限制；
多个限制同时出现时取交集。

例如

$\displaystyle f(x)=\frac{\sqrt{-x}}{2x^2-x-1}$

需要同时满足 $x\le 0$ 与 $(2x+1)(x-1)\ne0$ ，所以

$\displaystyle D=(-\infty,-\tfrac12)\cup(-\tfrac12,0].$

若限制为 $3\le x^2\le5$ ，则不能只保留正半轴，答案是

$\displaystyle [-\sqrt5,-\sqrt3]\cup[\sqrt3,\sqrt5].$

抽象函数定义域：四步法

课堂使用的固定路线是：

第一行的 $x$ 范围；
推出第一行括号内整体的范围；
把这个范围交给第二行同一个 $f$ 的括号；
再反求第二行的 $x$ 。

口诀是： $x\rightarrow$ 括号 $\rightarrow$ 括号 $\rightarrow x$ 。

例如，已知 $f(x)$ 的定义域为 $[1,4]$ ，求 $f(x+2)$ 的定义域。因为同一个 $f$ 的括号内必须落在 $[1,4]$ ，所以

$\displaystyle 1\le x+2\le4,$

得到 $x\in[-1,2]$ 。

同一函数

判断两个函数是否相同，只需比较：

定义域是否相同；
对应法则是否相同。

即使化简后的解析式相同，只要原式带来的定义域限制不同，也不是同一函数。

一次分式函数

对于

$\displaystyle y=\frac{cx+d}{ax+b},\qquad a\ne0,$

课堂的三步观察法是：

令分母为 $0$ ，确定竖直渐近线 $x=-\frac ba$ ；
分离常数，确定函数值不能取得的数 $y=\frac ca$ ；
代入 $x=0$ 找定点，帮助判断图像位置。

例如

$\displaystyle y=\frac{5x-9}{6x+8}$

有 $x\ne-\frac43$ ，且 $y\ne\frac56$ ，所以值域为

$\displaystyle (-\infty,\tfrac56)\cup(\tfrac56,+\infty).$

换元法求值域

对

$\displaystyle y=x+\sqrt{2x-1},$

令 $t=\sqrt{2x-1}\ge0$ ，则 $x=\frac{t^2+1}{2}$ ，原式化为关于 $t$ 的二次函数。换元的关键不是字母替换，而是把 $t\ge0$ 一起带入值域判断。

约分题还要补回被约去因式造成的缺失点。例如原式含 $(x+3)$ ，约分后仍需保留 $x\ne-3$ 。

典型例题

已知 $f(\sqrt{x+1})$ 的定义域为 $[0,3]$ 。先由 $x\in[0,3]$ 得括号整体 $\sqrt{x+1}\in[1,2]$ ，因此 $f(x)$ 的定义域为 $[1,2]$ 。

判断两个化简后都等于 $x+1$ 的函数是否相同，必须回到原式检查分母、根号等限制。定义域不同，就不是同一函数。

常见错误

求抽象函数定义域时，把“括号内整体的范围”直接写成外层 $x$ 的范围。

约分后忘记原分母为零造成的缺失点，导致值域多取一个数。

只看解析式是否相同，不比较定义域。

方法总结

函数题先看定义域。具体定义域列限制并取交集；抽象定义域走“ $x\to$ 括号 $\to$ 括号 $\to x$ ”；同一函数比较定义域与对应法则；换元求值域必须写新元范围，并保留原式缺失点。

自我检查

为什么函数定义中的集合必须是数集？

抽象函数定义域四步法的每一步分别在求什么？

约分后的函数为什么可能与原函数不同？

换元求值域时，为什么新变量范围不能省略？