第九讲 知识大纲：函数概念 · 定义域 · 同一函数 · 分式函数
配套清洗稿：clean_transcript_class9.md ｜ 课时：7/1 第 9 讲
一、不等式板块收尾（方法回顾）
常用方法
- 配凑法：乘"形同分母"的式子凑均值不等式；系数比 2∶1 时配
2a+2 与 b−2，再乘 1/3。
- 消元：两变量一关系 → 一个用另一个表示。
- 柯西不等式：
a+b=1 时 a²+b² ≥ (a+b)²/2 = 1/2。
- 取等条件必检：
x−1+1/(x−1)+1 在 x≥3 时取不到 x−1=1，最值在边界。
对勾函数预告
- 末题化
7/(T+3/T)，T+3/T ≥ 2√3 → 原式 ≤ 7√3/6；范围留待 y=x+a/x 专题。
二、函数概念与三要素
- 初中定义：x 每值对应唯一 y，y 是 x 的函数。
- 现代定义：数集到数集的对应。
- 三要素：定义域（x 范围）、值域（y 范围）、对应法则。
f(g(x)) 表示把 g(x) 整体代入 f：f(sin x) = sin²x。
三、具体函数定义域（例 4.1）
- 根号内 ≥ 0；分母 ≠ 0；奇次开方无限制。
- 括号一：
√(−x)/(2x²−x−1) → x ∈ (−∞,−1/2) ∪ (−1/2,0]。
- 括号二：分母
3x−2>0 → x ∈ (2/3,+∞)。
- 括号三：
3 ≤ x² ≤ 5 → x ∈ [−√5,−√3] ∪ [√3,√5]。
四、抽象函数定义域（例 4.2）——四步法（必考）
- 定义域永远指 x 的范围。
- 同一 f，括号内整体范围相同。
- 四步：第一行 x → 第一行括号 → 搬给第二行括号 → 第二行 x。
- 口诀：x → 括号 → 括号 → x。
三子题结论
| 已知 |
求 |
答案 |
f(x) 定义域 [1,4] |
f(x+2) |
[−1,2] |
f(√(x+1)) 定义域 [0,3] |
f(x) |
[1,2] |
f(x−1) 定义域 [−2,3]（分母含 x+1） |
复合式 |
[−4,−1) ∪ (−1,1] |
五、同一函数（例 5）
- 判定：定义域 + 对应法则相同即同一（值域必同）。
- 例 5：
t>0 限制 vs 无限制 → 定义域不同 → 选 B。
六、分式函数与值域（例 6）——三步法
- 形式
y=(cx+d)/(ax+b)，图像为双曲线。
- 三步：① 分母
=0 得 x≠−b/a；② 分离常数得 y≠c/a；③ x=0 定点定型。
- 例
y=(5x−9)/(6x+8)：x≠−4/3，y≠5/6，值域 (−∞,5/6)∪(5/6,+∞)。
- 例
y=(7x+10)/(2x−8)：x≠4，y≠7/2，过 (0,−5/4)。
速查表
| 题型 |
关键动作 |
易错 |
| 具体函数定义域 |
根号≥0、分母≠0、奇次开方随意 |
漏分母≠0 |
| 抽象函数定义域 |
x→括号→括号→x |
把"括号范围"误当"x 范围" |
| 同一函数 |
比定义域+对应法则 |
只看解析式忽略定义域 |
| 分式函数值域 |
分离常数看 c/a |
系数比读反（c/a 非 a/c） |
必考提醒
- 抽象函数定义域"四步法"是第一次月考高频题，必考。
- "取值范围用集合/区间作答"硬规矩延续，纯不等式扣 5 分。