第九讲 函数概念 · 定义域 · 同一函数 · 分式函数

来源：20260701153955-转写_26暑0期-高一数学S4班（李）15_40-17_40-逐字稿文本-1.txt 课时：2026 暑 0 期高一数学 S4 班，7/1 第 9 讲（15:40–17:40） 说明：已剔除课前闲聊（录取通知书、中考录取"小车/大车"比喻、预测网站、点名与转录乱码）；修正口语口误；不等式板块收尾与函数新课按内容逻辑重排分段。

一、不等式板块收尾：小测与作业讲评要点

本讲前半段把第 4～8 讲的小测、作业从后往前全部讲评一遍，并宣布不等式（含均值不等式）板块到此结束。以下只保留通用方法与关键提醒，答案按讲次列出供自查（具体题面以讲义为准）。

1. 常用方法提醒

• 配凑法（例 1-6 及变式）：通过乘一个"形同分母"的式子凑出可使用均值不等式的形式；变式若系数比为 2∶1，则把分母配成 2a+2 与 b−2 之和，整体再乘 1/3，使括号内和为 2a+b。
• 消元：凡见两个变量、一个关系式，优先把其中一个用另一个表示（第 2、5 题）。
• 柯西不等式（第 7 讲作业第 3 题）：形如 A+B 的式子，平方后自然出现 √a+√b；已知 a+b=1 时，a²+b² ≥ (a+b)²/2 = 1/2 直接可得。
• 取等条件务必检验（第 7 讲作业第 4 题）：x−1 + 1/(x−1) + 1 在 x≥3 时，x−1≥2，取不到 x−1=1 的等号时刻，最值在边界取得，不可机械套用"和为定值时积最小"。

2. 各讲小测 / 作业答案速查

3. 对勾函数预告（第 6 讲作业末题）

末题可化为 7/(T + 3/T)。因 T + 3/T ≥ 2√3（均值不等式），故原式 ≤ 2√7/3 = 7√3/6。其取值范围与两侧图像，留待学习对勾函数 y = x + a/x 之后专门讲解。

要点：不等式板块结束，下阶段进入函数。所有"取值范围"仍须用集合或区间作答（延续硬规矩）。

二、新课导入：函数的概念与三要素

1. 从初中定义到现代定义

• 初中：在某变化过程中有两个变量 x、y，对于 x 的某个范围内的每一个值，都有唯一的 y 与之对应，则 y 是 x 的函数；x 叫自变量，y 叫因变量。
• 现代（高中）定义：函数是一种从一个数集到另一个数集的对应。表述更抽象，但更精确。

2. f(x) 记法的好处

以 f(x)=x² 为例：

• 代入具体数：f(3)=9、f(5)、f(8) 直接用数字代入，无需重复写 y=…。
• 代入函数（复合）：若 g(x)=sin x，则 f(g(x)) = (g(x))² = sin²x。用 y=… 的旧写法很难简洁表达这种"把函数放进函数"的关系。

抽象的语言一旦精确，就能带来简洁。

3. 三要素

• 定义域：x 的取值范围（如 f(x)=x² 的定义域为 x∈R）。
• 值域：y（即 f(x)）的取值范围（如 f(x)=x² 的值域为 [0,+∞)）。
• 对应法则：f 规定的"给什么、还什么"的运算（如"平方"）。 本讲重点放在定义域。

三、具体函数定义域求法（例 4.1）

"具体函数"指有解析式的函数；求定义域就是让解析式"有意义"。

括号一：f(x) = √(−x) / (2x² − x − 1)

• 根号内：−x ≥ 0 → x ≤ 0。
• 分母 2x² − x − 1 = (2x+1)(x−1) ≠ 0 → x ≠ −1/2 且 x ≠ 1；其中 x≠1 已被 x≤0 吸收。
• 结论：定义域 x ∈ (−∞, −1/2) ∪ (−1/2, 0]。

括号二：分母 3x−2 > 0，且含三次根式 ∛(4x+8)

• 分母：3x−2 > 0（不能为 0）→ x > 2/3。
• 奇次开方（开三次方）对内部无限制。
• 结论：定义域 x ∈ (2/3, +∞)。

括号三：要求 x² 同时满足 x² ≥ 3 与 x² ≤ 5

• 即 3 ≤ x² ≤ 5 → x ∈ [−√5, −√3] ∪ [√3, √5]。
• 结论：定义域 x ∈ [−√5, −√3] ∪ [√3, √5]。

规矩（延续硬要求）：凡问定义域、值域这类"取值范围"，一律用集合或区间作答，不得只写纯不等式。

四、抽象函数定义域（例 4.2）——核心"四步法"

"抽象函数"指没有解析式的函数（如只知 f(2x+1) 的定义域）。这类题只有两句话要记牢：

1. 定义域永远指 x 的取值范围（"定指 x 定义域"）。
2. 同一个 f，括号内整体（中间量）的取值范围永远相同。

四步操作（以"已知 f(2x+1) 的定义域为 [2,+∞)，求 f(√x) 的定义域"为例）：

1. 看第一行 x 的范围：x ∈ [2,+∞)。
2. 求第一行括号整体的范围：2x+1 ∈ [5,+∞)。
3. 把该范围搬给第二行括号（同一 f，括号范围相同）：√x ∈ [5,+∞)。
4. 求第二行 x 的范围：x ∈ [25,+∞)。

口诀：x → 括号 → 括号 → x。无论题目编多复杂，都是这套逻辑。

例 4.2（三个子问题）

• (1) 已知 f(x) 的定义域为 [1,4]，求 f(x+2) 的定义域。 括号范围 [1,4]；令 x+2 ∈ [1,4] → x ∈ [−1,2]。答案 [−1,2]。
• (2) 已知 f(√(x+1)) 的定义域为 [0,3]，求 f(x) 的定义域。 第一行 x∈[0,3] → √(x+1) ∈ [1,2]（即 f 的括号范围）；故 f(x) 中 x ∈ [1,2]。答案 [1,2]。
• (3) 已知 f(x−1) 的定义域为 [−2,3]，求含 f(x+1) 且分母有 x+1 的函数定义域。 第一行 x∈[−2,3] → 括号 x−1 ∈ [−3,2]（f 的括号范围）；令新函数括号 x+1 ∈ [−3,2] → x ∈ [−4,1]；又分母 x+1 ≠ 0 → x ≠ −1。答案 x ∈ [−4,−1) ∪ (−1,1]。

五、同一函数（例 5、例 6）

判断两个函数是否"同一"，看三要素（定义域、值域、对应法则）；实际上只要定义域与对应法则相同，值域必相同，无需再验值域。

例 5（选 B） 比较两函数，其中一个形如 f(t)=… 且 t > 0，另一个对 t 无限制。二者定义域不同 → 不是同一函数。答案 B。

易错：只盯解析式长得像，忽略定义域差异。

六、分式函数与值域（例 6）——图像"三步法"

形如 y = (cx+d)/(ax+b) 的函数叫分式函数。其图像（双曲线）可用三步法定型：

1. 看 x ≠ 多少：令分母 ax+b = 0 → 垂直渐近线 x = −b/a。
2. 看 y ≠ 多少：分离常数，y 的极限值为 c/a（即 x 系数之比），故水平渐近线 y = c/a。
3. 看过的定点：取 x=0 得 y=d/b，据定点落在哪一"象限块"确定图像在一三还是二四象限区域。

例：画 y = (5x−9)/(6x+8)

• 第一步：分母 6x+8 ≠ 0 → x ≠ −4/3。
• 第二步：分离常数 y = 5/6 − 47/(3(6x+8)) → y ≠ 5/6。
• 第三步：x=0 时 y = −9/8，图像在相应区域；故值域 y ∈ (−∞, 5/6) ∪ (5/6, +∞)。

再练：y = (7x+10)/(2x−8)

• 第一步：2x−8 ≠ 0 → x ≠ 4。
• 第二步：分离常数得 y ≠ 7/2（x 系数比 7/2）。
• 第三步：x=0 时 y = −5/4，据此定型。

方法：分式函数"三步走"——x 不等于几、y 不等于几、过哪个定点，图像立现。

本讲修正 / 注意点

1. 例 4.2 三个子问题的题干在转写中残缺混乱，已按老师给出的答案与"四步法"反推整理；方法本身无误，题面以讲义核对为准。
2. 例 4.1 第一项分母二次项系数在 ASR 中混乱，已按"√(−x) 要求 x≤0、分母含因子 (2x+1) 排除 x=−1/2"还原，定义域结果教师已明确口述。
3. 分式函数第二步"Y 不等于 2/7"应为 y ≠ 7/2（系数比 c/a = 7/2，ASR 把分子分母读反）；x=0 时 y = −5/4（非转写的 −13/8），已静默改正。
4. 函数定义域、值域一律用集合 / 区间作答（延续"取值范围用集合"的高一硬规矩）。
5. 标准符号统一：空集 ∅、子集 ⊆、真子集 ⊊、补集 C_U A；本讲未涉及补集误写。
6. 对勾函数 y = x + a/x 的取值范围留待后续专题，本讲仅给出末题最值估值 7√3/6。