第七讲：均值不等式（2）

学习目标

• 会把同时含和与积的约束统一成适合求最值的形式。
• 能根据结构选择和积互化、换元、齐次化或消元。
• 会处理轮换对称与齐次分式问题。
• 能规范写出参数范围和等号成立条件。

前置知识

请先学完均值不等式（1），熟悉均值不等式、柯西不等式、完全平方公式与简单消元。

核心概念

常用桥梁为

$\displaystyle \sqrt{ab}\le\frac{a+b}{2}\le\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\qquad(a,b>0).$

当约束中既有和又有积时，先统一成题目所求的形式，再解由不等式产生的一元范围。

六种常用策略是：

1. 直接套用；
2. 齐次化；
3. 配凑；
4. 柯西不等式；
5. 和积互化；
6. 换元或消元。

方法不是越高级越好。先观察目标：能直接套就不换元，差一项就配凑，给出和积关系就先互化；最后必须回到定义域与取等条件。

老师讲解

统一形式

已知 $a,b>0$ 且 $ab=a+b+3$。若求 $ab$，把条件写成

$\displaystyle a+b=ab-3\ge2\sqrt{ab}.$

令 $t=\sqrt{ab}>0$，得到

$\displaystyle (t-3)(t+1)\ge0,$

所以 $ab\ge9$，且 $a=b=3$ 时取等。

和积互化

由

$\displaystyle (x+y)^2=x^2+y^2+2xy$

可以在和、积、平方和之间转换。若约束中同时出现 $x+y$ 与 $xy$，先把问题压缩成一个变量。

齐次分式

对 $x,y>0$，表达式

$\displaystyle (1+y/x)(3+x/y)$

只与比值有关。令 $t=x/y>0$，把问题化为一个正数与其倒数的配凑，最小值为

$\displaystyle 4+2\sqrt3.$

轮换对称

当 $abc=1$ 且三者为正数时，分别对 $1+a$、$1+b$、$1+c$ 使用均值不等式：

$\displaystyle (1+a)(1+b)(1+c)\ge8.$

典型例题

和积同时出现。

已知 $a,b>0$ 且 $ab=a+b+3$。先把 $a+b$ 统一成 $ab-3$，再令 $t=\sqrt{ab}$，得到 $ab_{\min}=9$。

轮换对称。

$abc=1$ 时，$\sqrt a\sqrt b\sqrt c=1$。三个局部不等式的取等条件可以同时满足于 $a=b=c=1$，因此整体最小值确实可取到。

常见错误

只得到一个理论下界，却没有检查多个局部不等式的取等条件能否同时成立。

换元后忘记写新变量的范围，导致多取或漏取。

参数范围只写裸不等式。规范答案必须写为区间或描述法集合。

方法总结

复合约束先统一所求形式，再从直接、齐次、配凑、柯西、和积互化、换元与消元中选择最短路径。最后检查变量范围、等号条件是否同时成立，以及答案是否写成规范集合。

自我检查

1. 为什么含和与积的条件要先“统一形式”？
2. 齐次分式为什么适合令 $t=x/y$？
3. 求出理论最值后还要检查哪三件事？