第八讲 知识大纲：基本不等式（均值不等式）· 六大解题策略
配套清洗稿：clean_transcript_class8.md ｜ 课时：6/30 第 8 讲
一、核心公式（必背）
- 均值不等式（基本不等式）：a,b>0 时 a+b ≥ 2√ab，等号 ⇔ a=b。
- 推广：aⁿ+bⁿ ≥ 2(ab)^(n/2)（n 为正整数）。
- 柯西不等式：(a²+b²)(c²+d²) ≥ (ac+bd)²，取等条件 ad = bc。
- 和积关系：(x+y)² = x²+y²+2xy；xy ≤ (x+y)²/4。
二、六大解题策略（速查表）
| 策略 | 适用信号 | 关键操作 |
|---|---|---|
| 1. 直接法 | 式子直接能套 a+b≥2√ab | 直接套均值不等式 |
| 2. 齐次化（其次） | 常数+多变量、次数不齐 | 乘 1 法 / 把常数换成同次式，整理成零次 |
| 3. 配凑（乘一法） | "少一项"就能成倒数和 | 少什么配什么，再减掉；等号当两项相等 |
| 4. 柯西不等式 | 平方和 ⇔ 线性组合最值 | (a²+b²)(c²+d²)≥(ac+bd)²，系数自调 |
| 5. 和与积互化 | 给 x+y 与 xy 之一求另一 | 借 (x+y)² = x²+y²+2xy 来回换 |
| 6. 换元 | 根号 / 复杂分式 | 令 t=√(...) 等，不改变结果只美观 |
| 补. 消元 | 系数比不整、和积互化失效 | 一变量用另一变量表示，压成单变量 |
三、典型例题结论（速记）
乘一法热身
- 3a+4b=ab（a,b>0）⇒ a+b ≥ 7+4√3（由 4/a+3/b=1 乘开）。
和积互化 / 换元+柯西
- (x+y)²=1+xy ⇒ x+y ∈ (1, 2√3/3]。
- 1/a+2/b=√ab ⇒ ab ∈ [2, +∞)。
- a+b=5 时 √(a+1)+√(b+3) 最大值 3√2（令 p²+q²=9，柯西）。
- 同背景下 3p+4q 范围 [−15,15]，最大 15。
- (a−b)+2/(a−b) ≥ 2√2（等号 a−b=√2）。
- t=√(x+2) 换元题最大值 √2/4。
参数范围（规矩）
- 例题 1-4：M ∈ [−4, 2]（齐次/柯西）。
- ⚠️ 取值范围必须写集合/区间，纯不等式扣 5 分。
和积互化专练（57–58 页）
- 例题 1-1（多选）：(x+y)²=1+3xy ⇒ x+y≤2，答案 BC。
- 3a+2b+2ab=9 ⇒ ab_max = 3/2。
- 例题 1-2：(a+b)(a+c)=4−2√3 ⇒ (a+b)+(a+c) 最小 2√3−2（因式分解+直接法）。
- 例题 1-2（消元）：2b(1+a)=9−3a ⇒ 2a+b 最小 4√3−7/2。
轮换对称（例题 1-3）
- abc=1 时：(1+a)(1+b)(1+c) ≥ 8；√a+√b+√c ≤ ab+bc+ca。
- a²+b²+c²≥ab+bc+ca=1 ⇒ a+b+c ≥ √3。
齐次化 / 消元收尾
- 例题 1-7（齐次）：(1+y/x)(3+x/y) 最小 4+2√3。
- 例题 1-8：消元后出现完全平方式 (b²+1)²，约分后放缩。
四、必考 / 提醒
- 取值范围规范（必考扣分项）：一律集合/区间形式，谢绝纯不等式。
- 柯西取等 ad=bc 常考，小题可不写，大题必须补。
- 和积互化 + 换元 T=√ab 是求 ab 范围的高频套路。
- 月考定位：集合/充分必要条件已学（卷中大量命中）；函数、命题否定未学（明天讲）。多选 6 分，部分选对按比例给分，第 11 题 D 常对。
五、作业
- 完成小册/讲义 55、57–58、60 页（含 1-7、1-8）。
- 明天集中讲评所有作业小测，进入函数模块。