第八讲 基本不等式（均值不等式）· 六大解题策略与综合例题

来源：20260630153810-转写_26暑0期-高一数学S4班（李）15_40-17_40-逐字稿文本-1.txt 课时：2026 暑 0 期高一数学 S4 班，6/30 第 8 讲（15:40–17:40） 说明：已剔除课前/课间闲聊（远程控制、个人网站、朋友圈、家长吐槽、点名与"特别关心"互动、月考卷"蒙答案"玩梗等）、ASR 乱码与破碎句；修正口语口误；按"六大策略"框架重排分段。本轮为不等式模块收尾，下次进入函数模块。

一、承上启下：一个"乘一法"热身

昨天停在不等式，本讲把均值不等式的常用套路系统串一遍。先用一道题热手。

例（乘一法 / 齐次化）：已知 a,b>0 且 3a+4b=ab，求 a+b 的最小值。

• 由 3a+4b=ab，两边同除以 ab 得 4/a + 3/b = 1（这就是"1 的妙用"里那个 1）；
• a+b = (a+b)·1 = (a+b)(4/a + 3/b) = 4 + 3a/b + 4b/a + 3 = 7 + 3a/b + 4b/a；
• 由均值不等式：3a/b + 4b/a ≥ 2√(3a/b · 4b/a) = 2√12 = 4√3；
• 故 a+b ≥ 7 + 4√3，等号当 3a/b = 4b/a（即 a = 4+2√3，b = 3+2√3）时成立。

要点：遇到"常数 + 两个变量"的齐次型，常用"乘 1 法"——把 1 写成由已知等式变形出的倒数和，再展开用均值不等式。

二、和积互化与换元+柯西

1. 板书题：(x+y)² = 1+xy 求 x+y 的范围

已知 x,y>0，且 (x+y)² = 1 + xy。

• (x+y)² = 1+xy > 1 ⇒ x+y > 1；
• 又 xy ≤ (x+y)²/4，代入得 (x+y)² = 1+xy ≤ 1 + (x+y)²/4；
• 移项：3(x+y)²/4 ≤ 1 ⇒ (x+y)² ≤ 4/3 ⇒ x+y ≤ 2√3/3；
• 结论：x+y ∈ (1, 2√3/3]（本题单选，答案选 A）。

方法即"和与积的互化"：在 x+y 与 xy 之间借 (x+y)² = x²+y²+2xy 这架桥来回换。

2. 例：1/a + 2/b = √ab，求 ab 的范围

已知 a,b>0 且 1/a + 2/b = √ab。

• 左端 1/a + 2/b ≥ 2√(2/(ab))，而左端 = √ab；
• 故 √ab ≥ 2√(2/(ab)) ⇒ ab ≥ 2√2 ⇒ (ab)^(3/2) ≥ 2√2 ⇒ ab ≥ 2；
• 结论：ab ∈ [2, +∞)（答案选 C）。

3. 例题 1-6：换元 + 柯西（√(a+1)+√(b+3)）

已知 a+b=5，求 √(a+1) + √(b+3) 的最大值。

• 根号外动不了就动根号内：令 p=√(a+1)，q=√(b+3)，则 p²+q² = a+1+b+3 = 9，问题化为在 p²+q²=9 下求 p+q 最大；
• 柯西不等式 (p+q)² ≤ (1²+1²)(p²+q²) = 2·9 = 18 ⇒ p+q ≤ 3√2；
• 等号当 p=q，即 a=7/2，b=3/2 时成立。最大值为 3√2。

柯西回顾：(a²+b²)(c²+d²) ≥ (ac+bd)²，取等条件 ad=bc。本题把柯西当"填空题"用：左边凑出 p²+q²，右边自然冒出 p+q。

推广（柯西"任人打扮"）：同样在 p²+q²=9 下求 3p+4q 的范围。

• (3p+4q)² ≤ (3²+4²)(p²+q²) = 25·9 = 225 ⇒ 3p+4q ∈ [−15, 15]，最大值为 15（当 (p,q) 与 (3,4) 同向，即 p=9/5, q=12/5）；
• 系数 3、4 由你自己"调"，想要什么线性组合就丢什么系数进去。

4. 配凑题：(a−b) + 2/(a−b)

• 直接配成"自己 + 自己的倒数倍"：(a−b) + 2/(a−b) ≥ 2√2；
• 等号成立当且仅当 a−b = √2。

配凑即"少什么给什么，再减掉、去掉"——乘一法的近亲。

5. 例题 1-7（换元法）：t = √(x+2)

令 t = √(x+2)（t>0），则 x = t²−2，分母 2x+5 = 2t²+1。

• 原式化为 1/(2t + 1/t)；
• 由均值不等式 2t + 1/t ≥ 2√2，故原式 ≤ 1/(2√2) = √2/4；
• 等号当 2t = 1/t 即 t = √2/2（x = −3/2）时成立。最大值为 √2/4。

换元不改变结果，只让形式更好看，是辅助手段。

三、例题 1-4：参数取值范围（齐次 / 柯西）+ 规矩提醒

例（参数 M 的范围）：用齐次化或柯西不等式求参数 M 的取值范围，结论 M ∈ [−4, 2]。

⚠️ 规矩提醒（沿用前几讲硬规矩）：凡是问"取值范围"，必须用集合形式回答——

• ✅ 区间：如 [−4, 2]、(−1, +∞)；
• ✅ 描述法：{M | −4 ≤ M ≤ 2}；
• ❌ 只写 "−4 ≤ M ≤ 2" 或 "M ≤ 2" 这种纯不等式——照规矩扣 5 分。 这是高一就要养成的规范语言。

四、六大解题策略系统总结

均值不等式不是"一种方法打天下"，本讲从头到尾实际用了六种（外加一个补充）：

1. 直接法：最直白，直接把均值不等式 a+b ≥ 2√ab 套上即可。
2. 齐次化（其次）：把目标式整理成"零次"（整齐划一的次数），常配合"乘 1 法"。
3. 配凑（乘一法 / 1 的妙用）："少什么配什么"，配出可用均值不等式的形式——所谓"妙"，只是你目前层次还不够，见多了就是基本功。
4. 柯西不等式：(a²+b²)(c²+d²) ≥ (ac+bd)²，自由度极高，系数随你调。
5. 和与积的互化：在 x+y 与 xy 间相互转化（借 (x+y)² = x²+y²+2xy）。
6. 换元：辅助手段，不改变结果，只让式子更好看。

补充（讲例题 1-2 时补上）：消元——把多变量用单变量表示，最自然、最朴实。

这六法（加消元）能解决约 97% 的均值不等式题。

五、和积互化专练（57–58 页）

1. 例题 1-1（多选，答案 BC）

已知 (x+y)² = 1 + 3xy，判断选项。

• 要"把 x+y 抠出来"，就凑出 x+y 的形式：x+y 的平方 = 1 + 3xy；
• 由 x+y ≥ 2√xy ⇒ xy ≤ (x+y)²/4，代入得 (x+y)² ≤ 1 + 3(x+y)²/4；
• 移项：(x+y)²/4 ≤ 1 ⇒ (x+y)² ≤ 4 ⇒ x+y ≤ 2；
• 由此判定 B 不对（它声称 x+y 可更大）、C 正确；本题为多选题，答案选 B、C。

2. 和积互化求 ab 最大值

已知 a,b>0 且 3a+2b+2ab = 9，求 ab 的最大值。

• 由条件：3a+2b = 9 − 2ab；
• 而 3a+2b ≥ 2√(6ab)（因为 3a·2b = 6ab），故 9 − 2ab ≥ 2√(6ab)；
• 令 T = √ab，则 9 − 2T² ≥ 2√6·T ⇒ 2T² + 2√6·T − 9 ≤ 0；
• 解得 T ≤ √6/2 ⇒ ab = T² ≤ 3/2，即 ab 的最大值为 3/2。

3. 例题 1-2（因式分解 + 直接法）

已知 (a+b)(a+c) = 4 − 2√3，求 (a+b)+(a+c) 的最小值。

• 先因式分解经验：a+ab+ac+bc = (a+b)(a+c)；
• (a+b)+(a+c) ≥ 2√((a+b)(a+c)) = 2√(4−2√3)；
• √(4−2√3) = √3 − 1（因 (√3−1)² = 4−2√3），故 最小值 = 2(√3−1) = 2√3 − 2；
• 等号当 a+b = a+c，即 b = c 时成立。

4. 例题 1-2（消元重做同一类）

当系数比不整、和积互化不好使时，改用消元： 已知 2b(1+a) = 9 − 3a，求 2a+b 的最小值。

• 由条件解出 b = (9−3a)/(2(1+a)) = 6/(a+1) − 3/2；
• 2a+b = 2a + 6/(a+1) − 3/2，令 u = a+1，则 2a+b = 2u + 6/u − 7/2；
• 2u + 6/u ≥ 2√12 = 4√3 ⇒ 2a+b ≥ 4√3 − 7/2；
• 等号当 u = √3，即 a = √3 − 1 时成立。

六、轮换对称与直接法（例题 1-3）

1. 直接法（幂次版）

x+y ≥ 2√xy，x²+y² ≥ 2xy，x³+y³ ≥ 2(xy)^(3/2)，等号均当 x=y。逐项直接套均值不等式即可。

2. 轮换对称：(1+a)(1+b)(1+c) ≥ 8（abc=1）

已知 a,b,c>0 且 abc=1。

• 1+a ≥ 2√a，1+b ≥ 2√b，1+c ≥ 2√c；
• 相乘：(1+a)(1+b)(1+c) ≥ 8√(abc) = 8（因 abc=1）。
• 故 (1+a)(1+b)(1+c) ≥ 8。

3. 硬题：√a+√b+√c ≤ ab+bc+ca（abc=1）

已知 a,b,c>0 且 abc=1，证明 √a+√b+√c ≤ ab+bc+ca。

• 利用 abc=1 把 √a "升次"：√a = √(a·abc) = √(a²bc) = √(ab·ac)；
• 由均值不等式 2√a = 2√(ab·ac) ≤ ab + ac；同理 2√b ≤ ab+bc，2√c ≤ ac+bc；
• 三式相加：2(√a+√b+√c) ≤ 2(ab+bc+ca) ⇒ √a+√b+√c ≤ ab+bc+ca。

4. 平方和直接平方

已知 a²+b²+c² ≥ ab+bc+ca = 1，则

• (a+b+c)² = a²+b²+c² + 2(ab+bc+ca) ≥ 1 + 2 = 3 ⇒ a+b+c ≥ √3。

七、齐次化与消元收尾（例题 1-7、1-8）

1. 例题 1-7（齐次化）

某式分母为二次、分子一次、常数项零次，需把"1"换成 x+2y 使次数对齐：

• 齐次化后原式 = (1 + y/x)(3 + x/y)；
• 令 t = y/x > 0，则 = (1+t)(3+1/t) = 4 + 3t + 1/t ≥ 4 + 2√3；
• 最小值为 4 + 2√3（等号当 t = 1/√3，即 x = √3 y）。

2. 例题 1-8（消元）

把变量 a 用 b 表示代入，整理后出现完全平方式 (b²+1)²，再与分母约分，配合均值不等式得最值。方法即"消元"——把多变量压成单变量，再常规放缩。

八、课堂插曲：第一次月考卷巡览（简）

本讲后半段老师调取了长沙多校（明德、麓山、长郡、雅礼、周南、长沙市实验等）高一上第一次月考卷，做考点对照：

• 已学：集合（交并补、子集）、充分条件与必要条件；卷中单选/填空大量命中。
• 未学：函数（明天开讲）、命题的否定、最大最小值等。
• 多选评分规则：每题 6 分；若两个选项正确，选对一个得 3 分；三个选项正确，选对一个得 2 分，选错不得分；一般第 11 题 D 选项约有 90% 概率正确（最难验证、奖励最高）。

此段为激励与复习定位，具体题目以纸质卷为准；课堂"蒙答案"玩梗已剔除。

九、作业与结课

• 完成讲义/小册对应练习（含 55、57–58、60 页的 1-7、1-8 等）。
• 明天：集中讲评此前所有作业与小测（不等式模块收尾），随后进入函数新模块。
• 老师预告：明天展示第一次月考卷，鼓励"数学心情火热"的同学领卷子 + 答题卡回去练手。

本讲修正 / 注意点

1. 取值范围规范：本讲所有"取值范围"均按前几讲硬规矩写成集合/区间形式——M∈[−4,2]、x+y∈(1,2√3/3]、ab∈[2,+∞)、3p+4q∈[−15,15] 等，未出现纯不等式写法。
2. 例题 1-4 题干不清：ASR 口播为"答案是 −4~2 之间"，且"左边最小值是不是八 / 八大于方成立"等句破碎，已按集合形式整理为 M∈[−4,2]；具体题干建议对照讲义第 52–55 页核对。
3. 配凑题等号条件修正：转录口播"等号成立当且仅当 a−b=1"，按均值不等式 (a−b)+2/(a−b)≥2√2，等号应为 a−b=√2，已改正。
4. 和积互化求 ab 题口播修正：转录中"3a+b+2b"等表述混乱，已按 3a+2b+2ab=9 梳理（由 3a+2b=9−2ab 与 3a+2b≥2√(6ab) 推出 ab≤3/2），结论 ab_max=3/2 为老师板书结论。
5. 例题编号歧义：转写里"例题 1-7"既指换元法（t=√(x+2)）又指齐次化（换 1 为 x+2y），本稿按方法分别呈现，以免混淆。
6. 无"补集/普及"问题：本讲为不等式专题，未出现集合补集内容，故未涉及该历史修正项。