第六讲：均值不等式（1）

学习目标

• 理解均值不等式及“一正、二定、三相等”。
• 会处理和定积最大、积定和最小。
• 会用配凑、齐次化与乘一法制造可用结构。
• 熟记柯西不等式并会检查等号条件。

前置知识

请掌握完全平方公式、正数运算、二次函数最值与简单代数变形。

核心概念

当 $a,b>0$ 时，

$\displaystyle \frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab},$

等号当且仅当 $a=b$。

• 和一定时，两数越接近，积越大；
• 积一定时，两数越接近，和越小。

柯西不等式为

$\displaystyle (a^2+b^2)(c^2+d^2)\ge(ac+bd)^2,$

等号条件是 $ad=bc$。

使用均值不等式必须同时检查“一正、二定、三相等”：参与运算的量为正，存在固定的和或积，并且题目允许取到等号。

老师讲解

直接法

对 $x>0$，

$\displaystyle x+\frac1x\ge2,$

等号在 $x=1$ 时成立。若 $x<0$，先提出负号转化成正数问题，此时最大值为 $-2$。

配凑与齐次化

题目结构与公式只差一个系数时，要把常数或系数配成“正数与倒数”的形式。目标不是形式漂亮，而是让取等条件能够同时成立。

乘一法

若 $3a+4b=ab$，且 $a,b>0$，两边除以 $ab$：

$\displaystyle \frac4a+\frac3b=1.$

把 $a+b$ 乘以这个“$1$”并展开，再使用均值不等式，可得

$\displaystyle a+b\ge7+4\sqrt3.$

柯西不等式

平方和与线性组合同时出现时，优先观察能否使用柯西。作差可得

$\displaystyle (a^2+b^2)(c^2+d^2)-(ac+bd)^2=(ad-bc)^2\ge0.$

典型例题

双变量最值。

若 $x+2y+2xy=8$，令 $t=x+2y$，则 $2xy=8-t$。由 $t\ge2\sqrt{8-t}$ 得 $t\ge4$，等号在 $x=2,y=1$ 时成立。

换元后用柯西。

令 $p=\sqrt{a+1}$、$q=\sqrt{b+3}$。若 $p^2+q^2=9$，则 $\displaystyle (p+q)^2\le2(p^2+q^2)=18,$ 所以 $p+q\le3\sqrt2$。

常见错误

看到正数就机械套均值不等式，没有检查约束是否允许取到等号。

只写最值，不写变量范围和等号成立条件。

方法总结

先检查正数条件和定值结构；能直接套用就直接用，差系数就配凑或齐次化，条件可化成 $1$ 时考虑乘一法，平方和与线性组合同时出现时考虑柯西。

自我检查

1. “一正、二定、三相等”分别指什么？
2. 说明 $x+1/x\ge2$ 的范围与取等条件。
3. 什么结构适合优先使用柯西不等式？