第七讲 知识大纲：不等式收尾 · 根的分布 · 均值不等式
配套清洗稿：clean_transcript_class7.md ｜ 课时：第 7 次课（15:40–17:40）
一、含参不等式收尾
例题 1-4（"均不成立"）
- 两反面同成立：x²−ax+1>0 恒正 → Δ₁=a²−4<0 → a∈(−2,2)；ax²+x−1≤0 恒非正 → a<0 且 Δ₂=1+4a≤0 → a≤−1/4。
- 交集：a ∈ (−2, −1/4]（取值用集合作答）。
例题 1-5（a<0）
- (x−5a)(x+a)>0，由 a<0 知 5a<a<0，开口向上。
- 解集：x ∈ (−∞, 5a) ∪ (a, +∞)。
二、分式 / 高次不等式：穿根法
分式化乘积
- f/g > 0 ⟺ fg > 0；f/g ≤ 0 ⟺ fg ≤ 0 且 g ≠ 0。
穿根法步骤
- 因式分解、标根；2. 右上方起笔；3. 奇次根穿（变号）、偶次根弹（不变号）；4. 取上下方、判等号。
速查表
| 根的情况 | 所求 | 解集 |
|---|---|---|
| 全单根 −3,−2,1/2,1 | >0 | (−∞,−3)∪(−2,1/2)∪(1,+∞) |
| 含二重根 −1（−1,1,3,4） | <0 | (−∞,−1)∪(−1,1)∪(3,4) |
| 分式 (3−x)/(x+1)−(x+1)≤0 | ≤0 | (−∞,−1)∪[1,+∞)（x≠−1） |
| 含二重根 1、三重根 3（−4,−2,1,3） | ≤0 | (−∞,−4)∪(−2,3) |
三、一元二次方程根的分布
引例（一根 >1、一根 <1）
- 条件 (m+2)·f(1) < 0；本例 f(1)=2m+1 → m ∈ (−2, −1/2)。
通法（数形结合，a>0）
| 分布 | 条件 |
|---|---|
| 一正一负 | a·f(0) < 0 |
| 两实根都 > t | Δ>0, 轴>t, f(t)>0 |
| 两实根都 < t | Δ>0, 轴<t, f(t)>0 |
| 两根 ∈ (m,n) | Δ>0, m<轴<n, f(m)>0, f(n)>0 |
| 一根 < m、一根 > m | f(m) < 0 |
| 一根 ∈ (m,n)、一根 ∈ (n,p) | f(m)>0, f(n)<0, f(p)>0 |
9 种情况多"换数滥竽"，核心 = 画图读关键点函数值。 必考提醒：根的分布 / 参数范围题是月考大题常客，取值范围必须用集合作答。
四、均值不等式（新课）
基本式
- a,b>0：(a+b)/2 ≥ √(ab)；等号当且仅当 a = b。
- 和定积最大 / 积定和最小。
- 证明：作差配方 或 射影定理（几何）。
硬规矩：不写"当且仅当 a=b 时等号成立"扣 ≥ 2 分！
x + 1/x 变形速查
| 函数 | 定义域 | 最值 |
|---|---|---|
| x + 1/x | x>0 | min 2（x=1） |
| x + 1/x − 2 | x>0 | min 0 |
| x + 1/(x−2) | x>2 | min 4（x=3） |
| x + 1/x | x<0 | max −2（x=−1） |
| x + 1/(x−2) | x<2 | max 0（x=1） |
手法：凑"正数 + 其倒数"；负区间先提负号转正数。
五、证明与双变量最值
证明 a+b+c=1 ⇒ 1/a+1/b+1/c ≥ 9
- 展开 9 项 / 逐项均值；等号 a=b=c=1/3。
双变量：x+2y+2xy=8，求 x+2y 最小
- 答案 min = 4（x=2, y=1）。
- 法一 消元：2y = 9/(1+x) − 1，得 (x+1) + 9/(x+1) − 2 ≥ 4。
- 法二 和积互化：令 t=x+2y，2xy=8−t，t ≥ 2√(8−t) → t²+4t−32 ≥ 0 → t ≥ 4。
六、进阶：齐次（乘 1 法）与柯西
齐次（其次）
- 乘"1 的次幂"配成 0 次再用均值。
- 例 1/x + 4/y = 1 → xy ≥ 16（选 C，x=2,y=8）。
柯西不等式
- (a²+b²)(c²+d²) ≥ (ac+bd)²，等号 ad = bc。
- 例 (a+b)(1/a+1/b) ≥ 4；括号二 (x+2y)(2x+y)/(3xy) ≥ 3（x=y）。
- 变式 1-3：求使 (nx+y)(1/x+y/4) 下界定值的 n → n = 4。
必考提醒：均值不等式变形（配凑、齐次、柯西）是高一下 / 高二上压轴小题高频考点，务必熟练。
七、作业
- 讲义第 9 页最后一题 + 第 10 页第 4 题之前。
- 根的分布总结文件后续统一下发。