第七讲 不等式收尾 · 一元二次方程根的分布 · 均值不等式入门

来源：20260629154403-转写_26暑0期-高一数学S4班（李）15_40-17_40-逐字稿文本-1.txt 课时：2026 暑 0 期高一数学 S4 班，第 7 次课（15:40–17:40） 说明：已剔除课前/课间闲聊（欧洲高温、点名、流鼻血、风扇、李格雷故事、家长沟通等）、ASR 乱码与口语冗余；修正口误与 ASR 转错的数学符号；按内容逻辑分段重排。本讲主要覆盖：含参不等式收尾、分式/高次不等式（穿根法）、一元二次方程根的分布、均值不等式及其变形技巧。

一、承上启下：收尾昨天的含参不等式（例题 1-4、1-5）

昨天停在"关于 x 的不等式"五类分类讨论，还留了两个小题没讲完。

例题 1-4（"均不成立"） "均不成立"＝两个不等式的反面同时成立：

• x² − a x + 1 > 0（对一切 x 恒正），需 Δ₁ = a² − 4 < 0，得 a ∈ (−2, 2)；
• a x² + x − 1 ≤ 0（对一切 x 恒非正），需开口向下 a < 0 且 Δ₂ = 1 + 4a ≤ 0，得 a ≤ −1/4。

两条件为"且"的关系，取交集：a ∈ (−2, −1/4]。

规矩提醒（延续第 3 讲）：问"取值范围"必须用集合形式回答——写成区间（如 (−2, −1/4]）或描述法 {a | −2 < a ≤ −1/4}，绝不可只写 "−2 < a ≤ −1/4" 这种纯不等式，否则扣分。

例题 1-5（a 为负） 原不等式因式分解后为 (x − 5a)(x + a) > 0。因 a < 0，有 5a < a < 0，开口向上。 解集为 x ∈ (−∞, 5a) ∪ (a, +∞)（参数 a 直接出现在结果中）。

二、分式不等式与高次不等式：穿根法（穿针引线）

分式不等式化乘积

• f(x)/g(x) > 0 ⟺ f(x)·g(x) > 0（同号，且 g(x) ≠ 0）；
• f(x)/g(x) ≤ 0 ⟺ f(x)·g(x) ≤ 0（异号或分子为 0）且 g(x) ≠ 0。

穿根法（数轴标根法）步骤

1. 把不等式化为"一边为 0、另一边因式分解"的形式，在数轴上标出全部根；
2. 从右上方起笔（首项系数为正时，右端正无穷处为正）；
3. 奇次根（单根、三重根…）穿过数轴，符号改变；偶次根（二重根…）"碰一下弹回"，符号不变；
4. 按所求（>0 取上方、<0 取下方）写出区间，注意根处是否取等号。

例 1（四个单根） 根为 −3, −2, 1/2, 1（均为单根），求 > 0： 符号自右正起 → 过 1 变负 → 过 1/2 变正 → 过 −2 变负 → 过 −3 变正。 解集：(−∞, −3) ∪ (−2, 1/2) ∪ (1, +∞)。

例 2（含二重根 −1） 根为 −1（二重）、1、3、4，求 < 0： −1 为偶次根，符号不变；1、3、4 为单根，符号改变。 解集：(−∞, −1) ∪ (−1, 1) ∪ (3, 4)（−1 处空心，不可取）。

例 3（分式不等式） (3−x)/(x+1) − (x+1) ≤ 0，通分化简（据板书）得 2(1−x)(x+1) ≤ 0，且 x + 1 ≠ 0。 开口向下，≤ 0 取外侧：x ∈ (−∞, −1) ∪ [1, +∞)（x = 1 可取，x = −1 不可取）。

例 4（含二重根 1、三重根 3） 根为 −4, −2, 1（二重）、3（三重），求 ≤ 0： −4、−2、3 为奇次根变号；1 为偶次根不变号。 解集：(−∞, −4) ∪ (−2, 3)（注意 x = 1 处原式 = 0，若题目为严格 "<0" 则应写作 (−2, 1) ∪ (1, 3)）。

三、一元二次方程根的分布

引例（一根 > 1，一根 < 1） 设 f(x) = (m+2)x² + …（m+2 为二次项系数）。分类讨论开口：

• 开口向上（m+2 > 0）时，只需 f(1) < 0；
• 开口向下（m+2 < 0）时，只需 f(1) > 0。 合并为一个条件：(m+2)·f(1) < 0。 （本例 f(1) = 2m + 1，故 (m+2)(2m+1) < 0，解得 m ∈ (−2, −1/2)；具体系数以板书为准。）

通法：数形结合，读"关键点函数值" 不必死记 9 种情况，画出抛物线、读出关键 x 处的函数值即可。设二次项系数 a > 0（a < 0 时看相反数）：

例："一根在 (0,1)、一根在 (1,2)"，开口向上时只需 f(0) > 0、f(1) < 0、f(2) > 0。把 0,1,2 换成 m,n,p 同理。所谓 9 种情况，大多只是"把数字换位置的滥竽充数"，核心是画图。

取值范围规矩：上述所有参数范围均应以集合（区间或描述法）作答。

四、新课：均值不等式

基本形式（a, b > 0）： $\displaystyle \frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$ 左边叫算术平均值，右边叫几何平均值。 等号成立条件：当且仅当 a = b 时取等号。

硬规矩：不写"当且仅当 a = b 时等号成立"至少扣 2 分！这是高中生必写的得分点。

两个直观结论

• 和定积最大：a + b 为定值时，ab 在 a = b 时最大（如和为 100 → 50×50 = 2500 最大）；
• 积定和最小：ab 为定值时，a + b 在 a = b 时最小（如 ab = 36 → 6 + 6 = 12 最小）。

证明（两种）

1. 作差配方：(√a − √b)² ≥ 0；
2. 几何法（射影定理）：半圆中 AD = a，BD = b，半径 (a+b)/2，由射影定理得半弦长为 √(ab)，故 (a+b)/2 ≥ √(ab)。

比大小应用 两数越接近，乘积越大；和定则积最大、积定则和最小。 例：四个正数 a,b,c,d 满足 a+b = c+d（和定）且 ab = cd（积定）。由和定积最大知 ab ≤ ((a+b)/2)²；由积定和最小知 c+d ≥ 2√(cd)。当 a=b=c=d=2 时取等，得 ab ≤ c + d，选 A。

五、均值不等式的变形技巧（x + 1/x 系列）

核心手法：凑出"正数 + 其倒数"的形式，再用 a + b ≥ 2√ab。

1. y = x + 1/x（x > 0）：≥ 2√(x·1/x) = 2，最小值 2，等号 x = 1。
2. y = x + 1/x − 2（x > 0）：最小值 = 2 − 2 = 0。
3. y = x + 1/(x−2)（x > 2）：令 x = (x−2) + 2，得 y = (x−2) + 1/(x−2) + 2 ≥ 2 + 2 = 4，等号 x−2 = 1/(x−2) → x = 3。
4. y = x + 1/x（x < 0）：令 t = −x > 0，y = −(t + 1/t) ≤ −2，最大值 −2，等号 x = −1。
5. y = x + 1/(x−2)（x < 2）：令 u = 2 − x > 0，y = −u − 1/u + 2 = 2 − (u + 1/u) ≤ 2 − 2 = 0，最大值 0，等号 u = 1 → x = 1。

口诀：正区间用"和定积最大、积定和最小"；负区间先提负号转成正数再处理。

六、经典证明：a + b + c = 1 ⇒ 1/a + 1/b + 1/c ≥ 9

证法一（直接展开） (a+b+c)(1/a+1/b+1/c) = 3 + (b/a+a/b) + (c/a+a/c) + (c/b+b/c) ≥ 3 + 2 + 2 + 2 = 9。 等号当且仅当 a = b = c = 1/3。

证法二（逐项用均值） b/a + a/b ≥ 2，c/a + a/c ≥ 2，c/b + b/c ≥ 2，加上常数项 3 即得 ≥ 9，等号同 a = b = c = 1/3。

七、双变量最值：消元 vs 和与积互化

例（重点）：已知 x > 0, y > 0，x + 2y + 2xy = 8，求 x + 2y 的最小值。 答案：最小值为 4（等号 x = 2, y = 1）。

方法一：消元（把 y 用 x 表示） 由 2y(1+x) = 8 − x，得 2y = (8−x)/(1+x) = 9/(1+x) − 1。 于是 x + 2y = x + 9/(1+x) − 1 = (x+1) + 9/(x+1) − 2 ≥ 2·3 − 2 = 4。 等号当 x+1 = 9/(x+1) → x = 2，此时 y = 1。

方法二：和与积互化（更一般的"消元"） 令 t = x + 2y。由已知 2xy = 8 − t。 由均值不等式：t = x + 2y ≥ 2√(2xy) = 2√(8−t)。 平方得 t² ≥ 4(8−t) ⇒ t² + 4t − 32 ≥ 0 ⇒ (t+8)(t−4) ≥ 0。 因 t > 0，故 t ≥ 4，即 x + 2y 最小值为 4。

方法一"直接消元"，方法二把"和"与"积"互相转化——目标是留下想要的量，其余往该形式去化。

八、进阶技巧：齐次（乘 1 法）与柯西不等式

齐次思想（其次）：通过乘"1 的某次幂"把代数式次数配成 0 次，再用均值。

例：已知 1/x + 4/y = 1（x, y > 0），求 xy 的最小值。 答案：xy ≥ 16（选 C），等号 x = 2, y = 8。

• 直接法（乘 1 法）：1 = 1/x + 4/y ≥ 2√(4/(xy)) = 4/√(xy) ⇒ √(xy) ≥ 4 ⇒ xy ≥ 16。
• 齐次法：xy·(1/x + 4/y)² = y/x + 16x/y + 8 ≥ 8 + 2√16 = 16，而 (1/x + 4/y)² = 1，故 xy ≥ 16。

柯西不等式 $\displaystyle (a^2+b^2)(c^2+d^2) \ge (ac+bd)^2,\quad \text{等号成立当}\ ad = bc$ 例：(a+b)(1/a+1/b) ≥ (1+1)² = 4（a, b > 0），选 C。 例（配凑）：y = (x−2) + 1/(x−2)（x > 2），min = 2，等号 x = 3；变式 y = 2(x+2) + 8/(x+2) − 4，min = 4。 例（括号二）：求 (x+2y)(2x+y)/(3xy)（x, y > 0）的最小值： = (1/3)(2x/y + 2y/x + 5) ≥ (1/3)(2·2 + 5) = 3，等号 x = y。

变式 1-3 用柯西：求使 (nx+y)(1/x+y/4) 下界为定值的 n，由柯西得 n = 4（具体构造以板书为准）。

九、作业与结课

• 今日作业：讲义第 9 页最后一题 + 第 10 页第 4 题之前的内容。
• 根的分布"总结性文件"后续统一下发（今天先不发）。
• 均值不等式是技巧密集章节，多动手配凑。

本讲修正 / 注意点

1. 章节编号歧义：老师口述"今天是第 7 次课，把第六讲讲完"。文件按系列命名为"第七讲"；若以讲义讲次计，本讲对应"第六讲"内容。
2. 例题 1-4 端点：①中 x²−ax+1 > 0 要求 Δ₁ < 0（严格），故 a 不含 −2，合并交集为 (−2, −1/4]。老师口播"-2 到 -1/4"未区分端点，严格写法见正文，建议核对板书。
3. 例 4（穿根法）端点：根 x = 1 为二重根，原式在该点 = 0。若题目为严格 "<0"，应写作 (−2, 1) ∪ (1, 3)；老师口述"(-2, 3) 都可取"略有遗漏，已按严格不等式修正并标注。
4. "1/x + y/4" 实为 "1/x + 4/y"：ASR 把 4/y 转成 y/4，导致原题（求 xy 最小值 = 16）推导不通；已据齐次法结果反推并修正为 1/x + 4/y = 1。
5. 根的分布引例系数：f(1) = 2m + 1 等具体系数系据老师口述整理，9 种情况以"画图读关键点函数值"为准；参数区间建议对照板书。
6. 均值不等式等号条件为老师强调的硬性得分点（不写扣 ≥ 2 分），已在正文单列。
7. 全讲"取值范围"均按第 3 讲规矩以集合（区间/描述法）作答；符号统一用 ∪、⊆、⊊ 等标准记法。