第五讲：二次函数与二次不等式

学习目标

• 理解二次函数零点、二次方程根与二次不等式解集的对应。
• 会解基础一元二次不等式。
• 掌握含参二次不等式的分类讨论模板。
• 会用穿根法处理高次、分式不等式，并用函数图像判断根的分布。

前置知识

请掌握因式分解、判别式、二次函数图像、区间与集合表示。

核心概念

对 $a>0$ 的二次函数 $f(x)=ax^2+bx+c$：

• $\Delta>0$ 时有两个不等实根，$f(x)>0$ 取两根外侧，$f(x)<0$ 取两根之间；
• $\Delta=0$ 时有一个二重根；
• $\Delta<0$ 时没有实根，函数恒正。

含参二次不等式按三步分类：

1. 最高次项系数的正、负、零；
2. 判别式决定实根是否存在；
3. 两根顺序决定取内部还是外部。

参数题先判断它是不是二次不等式。参数为 $0$ 时可能降次，必须单独作为一个分支。

老师讲解

从图像读解集

二次不等式不是孤立公式，而是在问抛物线位于横轴上方还是下方。先找零点，再结合开口方向写区间。

已知两根求系数

若 $ax^2+bx+2=0$ 的两根为 $-\frac12,\frac13$，由韦达定理

$\displaystyle -\frac ba=-\frac16,\qquad \frac2a=-\frac16,$

所以 $a=-12,b=-2$。

含参恒成立

对 $(a-2)x^2+2(a-2)x-4<0$ 恒成立，令 $t=a-2$。先查 $t=0$，再在 $t<0$ 时要求 $\Delta<0$，得到

$\displaystyle a\in(-2,2].$

穿根法

先因式分解并在数轴上标出所有根，从右上方起笔。经过奇数重根时穿过数轴，经过偶数重根时弹回。分式不等式还要排除分母为零的点。

根的分布

对开口向上的二次函数 $f(x)$：

• 一根在 $m$ 左侧、一根在 $m$ 右侧：$f(m)<0$；
• 两根都大于 $t$：$\Delta>0$、对称轴 $>t$、$f(t)>0$；
• 两根都在 $(m,n)$：$\Delta>0$、对称轴在区间内，且 $f(m),f(n)>0$。

典型例题

根的倒数变换。

已知 $ax^2+bx+c>0$ 的解集为 $(-1/2,1/3)$。研究 $cx^2+bx+a>0$ 时，除以 $x^2$ 并令 $t=1/x$，得到 $x\in(-\infty,-2)\cup(3,+\infty)$。

一正一负。

二次方程两根一正一负，图像在 $x=0$ 处必须位于横轴下方；一般写成最高次项系数与 $f(0)$ 异号。

常见错误

含参不等式只讨论参数正负，漏掉参数为 $0$ 的退化分支。

穿根法遇到偶次根仍然穿过数轴，或忘记排除分母为零的点。

方法总结

二次不等式先画图像再写解集；含参题先查退化，再看开口、判别式与根序；高次和分式不等式先分解再穿根；根的分布用端点函数值、对称轴和判别式描述。

自我检查

1. 写出 $a>0,\Delta>0$ 时二次不等式的解集规律。
2. 含参二次不等式为什么要先讨论最高次项系数为 $0$？
3. 奇次根和偶次根在穿根图上有什么区别？
4. 两根都大于 $t$ 需要哪些条件？