第六讲 知识大纲：绝对值不等式进阶 · 一元二次函数与二次不等式

配套清洗稿：clean_transcript_class6.md ｜ 课时：6/28 第 6 讲

一、绝对值不等式进阶（例九续）

跟函数比大小

• 本质同"跟常数比大小"：|2x−1| < 3−x ⇒ x−3 < 2x−1 < 3−x。
• 例九解：x ∈ (−2, 4/3)。
• 括号二（变式，三段）：x ∈ (−∞, −1) ∪ (−1, 3) ∪ (5, +∞)。
• 开篇引例（34 页）：含参 B，结论 B ∈ [2, 4]（推导以板书为准）。

二、双绝对值分类讨论（a、b 参数）

"并联电路"法：同时并列写三分支，再各自综合取并

• 右支恒为：x ≤ 2/(a+b)。
• 左支 (a−b)x ≥ 2 分三种：
  • a > b：x ∈ (−∞, 2/(a+b)) ∪ (2/(a−b), +∞)；
  • a = b：左支 ∅，得 x ∈ (−∞, 1/a)；
  • a < b：2/(a−b) 为负，合并得 x ∈ (−∞, 2/(a+b))（与 a=b 同结果）。
• a = b 与 a < b 两种情况可合并。

三、双绝对值几何意义（数轴距离法）★必考

• |x−m| = 点 x 到 m 的距离。
• |x−3|+|x−4| < 2 ⇒ 槽状图像，中间水平值 1，两侧斜率 ±2 ⇒ x ∈ (5/2, 9/2)。
• 无解 / 非空由**两定点间距（最小距离）**决定：
  • 要无解 ⇒ a ≤ 间距；
  • 要非空 ⇒ a > 间距（不能等于）。
• 变式一（存在 m）：|x−3|+|x−m| < 5 ⇒ |m−3| < 5 ⇒ m ∈ (−2, 8)。

速查表：双绝对值（+型）图像特征

四、绝对值"减法型"几何意义

• |x+3|−|x−1|：左恒 −4，右恒 4，中段斜率 2 ⇒ > −2 ⇒ x ∈ (−2, +∞)。
• |x+1|−|x−2|：min = −3，max = 3（中段斜率 2）。
• 加减互变：整体取负 ⇒ 谁减谁互换 ⇒ 图像上下翻转。
• 考得不多，但几何结论（min/max）务必会求。

五、一元二次函数与二次不等式（新课）

39 页 6 道基础题（必做对）

1. [1, 2]　2. (−∞, −1/3) ∪ [1, +∞)　3. (−∞, −1) ∪ (3, +∞)
2. [−1/3, 1/2]　5. (−∞, 3) ∪ (3, +∞)　6. ∅

• 系数为负先化正。

例题 1-2：已知两根求系数（三法）

• 两根 −1/2, 1/3，ax²+bx+2=0。
• 韦达：和 −1/6=−b/a，积 −1/6=2/a ⇒ a = −12，b = −2。
• 三法：直接代入 / 韦达定理（最方便）/ 交点式。

追问：系数位置互换（构造 + 倒数换元）★必考

• 已知 ax²+bx+c>0 解 (−1/2, 1/3)，求 cx²+bx+a>0：
  • 除以 x² ⇒ a(1/x)²+b(1/x)+c>0，令 t=1/x；
  • t ∈ (−1/2,1/3) ⇒ 1/x 同范围 ⇒ x ∈ (−∞, −2) ∪ (3, +∞)。
• b 改号（关于 y 轴对称）：cx²−bx+a>0 ⇒ (−∞, −3) ∪ (2, +∞)。

六、含参二次不等式分类讨论（例题 1-3、1-6）

例题 1-3（恒成立）

• (a−2)x²+2(a−2)x−4<0 恒成立，令 t=a−2。
• t=0（a=2）成立；t<0 时 Δ=4t²+16t<0 ⇒ t∈(−4,0)。
• 结论 a ∈ (−2, 2]（左开右闭）。

例题 1-6：(ax−1)(x−2)<0

• a=0 ⇒ (2, +∞)；
• a>0：按 1/a 与 2 大小分三子情况：
  • a∈(0,1/2) ⇒ (2, 1/a)；
  • a=1/2 ⇒ ∅；
  • a∈(1/2,+∞) ⇒ (1/a, 2)；
• a<0 ⇒ (−∞, 1/a) ∪ (2, +∞)。

分类讨论模板（三步）

1. 开口：a 正负、a=0（无二次项优先）；
2. 根是否存在（Δ）；
3. 两根大小：谁左谁右。

• 用"并联电路"并列写分支，版面清爽 = 老师天然信任。

七、作业

• 讲义 第 8 页剩余两题 + 第 9 页第四题之前。
• 当堂小测（绝对值 / 二次不等式）；下讲进均值不等式。