第六讲绝对值不等式进阶 · 一元二次函数与二次不等式

来源：20260628153855-转写_26暑0期-高一数学S4班（李）15_40-17_40-逐字稿文本-1.txt 课时：2026 暑 0 期高一数学 S4 班，6/28 第 6 讲（15:40–17:40）说明：已剔除课前/课间闲聊（家庭、志愿填报、AI 演示、朋友圈、短视频、点名收作业等）与转录乱码；修正口语口误与 ASR 符号转写；按内容逻辑重排分段，延续第 3 讲风格。

一、绝对值不等式进阶（例九续讲：含参与"跟函数比大小"）

昨天停在"跟常数比大小"，今天升级为"跟一个函数比大小"——本质一样，只是把常数换成含 x 的表达式，仍然当成常数处理即可。

开篇例（34 页末尾） 求参数 B 的取值范围，使不等式 -4 + B < 3x < 4 + B 的解集能囊括指定点集。把两端点分别请出来，要求两句话同时成立（且关系），解得 B ∈ [2, 4]，选 B。

该题为例九的引子，转录对"需覆盖哪些点、区间端点如何比大小"口播混乱，结论 B ∈ [2, 4] 为老师口述答案，推导细节请以板书为准核对。

例九（跟函数比大小） 如 |2x − 1| < 3 − x，直接写成 - (3 − x) < 2x − 1 < 3 − x，即 x − 3 < 2x − 1 < 3 − x：

左半：x − 3 < 2x − 1 → x > −2；
右半：2x − 1 < 3 − x → 3x < 4 → x < 4/3。解得 x ∈ (−2, 4/3)（开区间）。

例九括号二（变式，需分类讨论） 与函数比大小会出现"既可大于 x+1、也可小于 −x−1"的或关系，整体解为三段： x ∈ (−∞, −1) ∪ (−1, 3) ∪ (5, +∞)。

第一、三段（x < −1 与 x > 5）好理解；中间段 (−1, 3) 来自把内层化为二次不等式（如 (x−2)(x−3) < 0 一类结构），是关键，需单独解释。

二、双绝对值分类讨论（a、b 参数，"并联电路"法）

形如 |ax − 2| 与 |bx| 比较的题，要讨论 a、b 的大小。先把绝对值拆开：

右支 ax − 2 ≤ −bx → (a + b)x ≤ 2 → x ≤ 2/(a + b)，处理最简单，无分支；
左支 ax − 2 ≥ bx → (a − b)x ≥ 2，因 a、b 大小未知，需分三种：

a > b：x ≥ 2/(a − b)；综合右支得 x ∈ (−∞, 2/(a+b)) ∪ (2/(a−b), +∞)。
a = b：左支 0·x ≥ 2 为空集 ∅；只剩右支 x ≤ 2/(a+b) = 1/a （因 a+b = 2a），得 x ∈ (−∞, 1/a)。
a < b：a − b < 0，除过去变号，x ≤ 2/(a − b)（此时 2/(a−b) 为负）；再与右支 x ≤ 2/(a+b)（正）合并，正数在右，整体仍是 x ∈ (−∞, 2/(a+b))。

写法要点：三种情况像并联电路，一次性把三条"线"并列写出，最后各自综合、再求并集。注意 a = b 与 a < b 两种情形最终可合并为同一结果。

三、双绝对值的几何意义（数轴距离法）

核心一句话：|x − m| 表示数轴上点 x 到点 m 的距离。

例（|x−3| + |x−4| < 2） 到 3 与到 4 的距离之和。当 x 在 [3, 4] 之间游走时，和恒为两点间距 1（最小值）；往右每走 1 单位，到两边距离各增 1，总和增 2（斜率 2）；往左同理。要求距离和 < 2：

右侧（x > 4）：(x−3)+(x−4) = 2x−7 < 2 → x < 4.5；
左侧（x < 3）：(3−x)+(4−x) = 7−2x < 2 → x > 2.5；
中间 [3, 4] 恒满足。解得 x ∈ (5/2, 9/2)。

图像呈"槽状/桶状"：中间水平、两侧斜率 ±2。用距离理解比零点分段法快得多。

无解 / 非空条件（两点距离决定最值）

若某题 |…|+|…| < a 要无解，只需 a ≤ 两定点间距（距离和的最小值）。如两定点间距为 8，则 a ≤ 8 时无解，选 A。
若要求非空，则 a > 该最小距离。如最小距离为 10，则 a ∈ (10, +∞)，不能等于 10（等于 10 时只取到底部一点，按题设判为空）。

变式一（存在实数 m） |x − 3| + |x − m| < 5 存在实数 m 满足。m 不能离 3 太远——超过 5 就远了，即 |m − 3| < 5，解得 m ∈ (−2, 8)（开区间）。

四、绝对值"减法型"的几何意义

加法是槽状，减法决定"左低右高"还是"左高右低"，看谁减谁。

例（|x + 3| − |x − 1|） 即"到 −3 的距离减到 1 的距离"：

x ≤ −3：恒为 −4；
x ≥ 1：恒为 4；
中间（−3, 1）：(x+3) − (1−x) = 2x + 2，斜线连接，斜率 2。求 |x+3| − |x−1| > −2：中间段 2x+2 > −2 → x > −2；结合两侧，得 x ∈ (−2, +∞)。

例（|x + 1| − |x − 2|，括号二） "到 −1 的距离减到 2 的距离"：最小值 −3（x ≤ −1 时），最大值 3（x ≥ 2 时），中间斜线斜率 2。当题设要求"≤ a 恒成立"或"存在 K 使不等式成立"时，只需抓住最值：例如涉及 K < −3（即 K ∈ (−∞, −3)）一类条件。

该处 ASR 把不等式方向与 K 的边界转写混乱；几何结论（min = −3，max = 3）可靠，具体"恒成立/存在"的方向请以板书为准。

减法与加法互变：把整体取负号，即谁减谁互换，图像上下翻转（上坡变下坡）。这部分考得不多。

五、一元二次函数与二次不等式（新课）

1. 39 页 6 道基础题（必做对）

仅考因式分解与开口方向，答案：

选 B，解集 [1, 2]；
(−∞, −1/3) ∪ [1, +∞)；
(−∞, −1) ∪ (3, +∞)；
[−1/3, 1/2]；
(x − 3)² > 0 → x ≠ 3，即 (−∞, 3) ∪ (3, +∞)；
∅。

系数为负时，先化为正系数再做，避免绕弯。

2. 例题 1-2（已知两根求系数，三种方法）

已知 ax² + bx + 2 = 0 的两根为 −1/2、1/3，求 a、b。

直接代入：把两根代入令式为 0，联立解 a、b。
韦达定理：两根和 −1/6 = −b/a，两根积 −1/6 = 2/a → a = −12，代回得 b = −2（a + b = −14）。
交点式：设为 a(x + 1/2)(x − 1/3)，展开与 ax² + bx + 2 比对。最方便的是韦达定理：a = −12，b = −2。

3. 追问（系数位置互换：构造 / 倒数换元）

若 ax² + bx + c > 0 的解集为 (−1/2, 1/3)，求 cx² + bx + a > 0 的解集。思路：两边同除以 x²（x ≠ 0），得 c + b·(1/x) + a·(1/x)² > 0，令 t = 1/x，即 a·t² + b·t + c > 0。已知该式解为 t ∈ (−1/2, 1/3)，故 1/x ∈ (−1/2, 1/3)：

1/x ∈ (−1/2, 0)（x < 0）→ x < −2；
1/x ∈ (0, 1/3)（x > 0）→ x > 3。解得 x ∈ (−∞, −2) ∪ (3, +∞)。

同理，若把 b 改号（关于 y 轴对称），cx² − bx + a > 0 的解集为 (−∞, −3) ∪ (2, +∞)。本质是化归成已做过的题。

六、含参二次不等式的分类讨论（例题 1-3、1-6）

例题 1-3（恒成立，优先看"无二次项"）

(a − 2)x² + 2(a − 2)x − 4 < 0 恒成立，令 t = a − 2。

t = 0（即 a = 2）：−4 < 0 恒成立；
t < 0（开口向下）：需 Δ < 0。Δ = (2t)² − 4·t·(−4) = 4t² + 16t < 0 → t(t + 4) < 0 → t ∈ (−4, 0) → a ∈ (−2, 2)。合并 a = 2，得 a ∈ (−2, 2]（左开右闭）。

例题 1-6（可因式分解，多分支）

(ax − 1)(x − 2) < 0。

a = 0：−x + 2 < 0 → x ∈ (2, +∞)。
a > 0：根为 1/a 与 2，按大小分三子情况：
- 1/a > 2（即 a ∈ (0, 1/2)）：解集 (2, 1/a)；
- 1/a = 2（即 a = 1/2）：(1/2)(x−2)² < 0 → ∅；
- 1/a < 2（即 a ∈ (1/2, +∞)）：解集 (1/a, 2)。
a < 0：1/a < 0 < 2，开口向下，解集 (−∞, 1/a) ∪ (2, +∞)。

分类讨论标准三步走：① 开口（a 的正负、a=0）；② 根是否存在；③ 两根谁在左谁在右。用"并联电路"并列写分支、各自综合、再取并集，版面清爽，老师改卷天然信任。建议用活页纸把这类"全参数二次不等式"单独归一类总结。

七、作业与结课

今日作业：讲义第 8 页剩余两题 + 第 9 页第四题之前的内容。
当堂下发小测（绝对值 / 二次不等式相关）；未写名字的作业需补交。
下讲进入均值不等式（老师预告"明天你们就知道厉害了"）。

本讲修正 / 注意点

开篇 34 页引例（含参 B）转录严重乱码，"需覆盖哪些点、端点如何比大小"口播不清；仅保留老师口述结论 B ∈ [2, 4]，推导请以板书为准。
第三节 |x−3|+|x−4| 那题，老师口误说"小于三"，实际所解为 < 2，已按 < 2 修正，答案 (5/2, 9/2)。
第二节双绝对值 a、b 讨论，ASR 把 2/(a+b)、2/(a−b) 转成"a 加 b 分之二"等，已还原为标准分式写法。
第四节减法型 |x+1|−|x−2| 的 K 条件（K < −3）转写混乱，已按几何意义标注 min = −3、max = 3，具体"恒成立 / 存在"方向以板书为准。
延续既有规范：① 凡问"取值范围"一律用集合 / 区间形式回答（如 (5/2, 9/2)、(−2, 8)），不写纯不等式；② 统一用补集写法（本讲无"普及"误转，按规范书写）；③ 标准符号 ∅ ⊆ ⊊ ∪ ∩ 照常使用。