第四讲：不等式的性质和绝对值不等式

学习目标

• 熟练使用不等式的对称性、传递性、可加性和可乘性。
• 会用做差、有理化和函数图像比较大小。
• 会处理区间范围与线性组合范围。
• 会用定义法、零点分段法和数轴距离解绝对值不等式。

前置知识

请熟悉实数运算、因式分解、区间、数轴和简单函数图像。

核心概念

不等式两边同加一个数，方向不变；同乘正数，方向不变；同乘负数，方向改变。

$\displaystyle a>b,\ c>0\Longrightarrow ac>bc,$

$\displaystyle a>b,\ c<0\Longrightarrow ac<bc.$

绝对值的本质是数轴距离。基础规则为

$\displaystyle |f(x)|>a\Longleftrightarrow f(x)>a\text{ 或 }f(x)<-a,$

$\displaystyle |f(x)|<a\Longleftrightarrow -a<f(x)<a\qquad(a>0).$

绝对值“大于”取外侧，用“或”；绝对值“小于”夹中间，用“且”。出现多个绝对值时，优先标出零点分段，或把它翻译成数轴距离。

老师讲解

比较大小：做差与有理化

比较 $P,Q$，最稳定的方法是研究 $P-Q$ 的符号。根式差可以有理化：

$\displaystyle \sqrt7-\sqrt6=\frac1{\sqrt7+\sqrt6},\qquad \sqrt6-\sqrt5=\frac1{\sqrt6+\sqrt5}.$

前者分母更大，因此 $\sqrt7-\sqrt6<\sqrt6-\sqrt5$。

范围运算与待定系数

已知 $x+y$ 与 $2x-y$ 的范围，求 $4x+y$，先改写：

$\displaystyle 4x+y=2(x+y)+(2x-y).$

若 $x+y\in[-1,3]$、$2x-y\in[4,9]$，则 $4x+y\in[2,15]$。

单绝对值不等式

$\displaystyle |2x-1|>1$

等价于 $2x-1>1$ 或 $2x-1<-1$，所以

$\displaystyle x\in(-\infty,0)\cup(1,+\infty).$

双绝对值的几何意义

$|x-a|$ 表示点 $x$ 到 $a$ 的距离。当 $a<b$ 时，

$\displaystyle |x-a|+|x-b|$

的最小值是 $b-a$，且在 $x\in[a,b]$ 上取得。

例如 $|x-3|+|x-4|<2$ 的解集为

$\displaystyle x\in\left(\frac52,\frac92\right).$

典型例题

区间除法。

若 $a\in[6,8]$、$b\in(2,3)$，二者同正，则 $1/b\in(1/3,1/2)$，所以 $a/b\in(2,4)$。

两定点距离。

若存在 $x$ 使 $|x-3|+|x-m|<5$，两定点间距必须小于 $5$，即 $|m-3|<5$，所以 $m\in(-2,8)$。

常见错误

不等式两边同乘含参数式时，不先判断正负就确定方向。

把 $|f(x)|>a$ 写成双边不等式；正确结果是两个外侧区间的并集。

把 $|x-a|+|x-b|$ 的最小值误认为 $0$；它的最小值是 $|a-b|$。

方法总结

比大小优先做差，根式差可有理化；范围题先改写成已知组合；绝对值不等式在定义法、零点分段与数轴距离之间选择最直接的方法。

自我检查

1. 不等式两边同乘一个数时，为什么必须先判断符号？
2. 解 $|3x+1|<2$。
3. $|x-1|+|x-5|$ 的最小值是多少，在哪里取得？