第三讲：全称量词和存在量词

学习目标

• 能识别全称量词 $\forall$ 与存在量词 $\exists$。
• 会判断全称命题、存在命题的真假。
• 会同时改变“量词”和“结论”写出命题的否定。
• 会用最值、判别式或参变分离处理恒成立与能成立。

前置知识

请先掌握充分条件、必要条件、集合包含关系，以及二次函数的开口、判别式和最值。

核心概念

否定命题时要同时完成：

$\displaystyle \forall\longleftrightarrow\exists,$

并把结论取反。例如 $\le$ 的否定是 $>$，$=$ 的否定是 $\ne$。

命题否定一定“两头都改”：量词互换，结论取反。判断全称命题时尤其要试 $0$、端点和会使表达式退化的特殊值。

老师讲解

真假的判断

判断全称命题为假，只需找到一个反例；判断存在命题为真，只需找到一个满足条件的对象。

例如“任意实数 $x$ 都有 $x^2>0$”是假命题，因为 $x=0$ 是反例；“存在实数 $x$ 使 $x^2=4$”是真命题，因为 $x=2$ 即可。

命题的否定

“对任意 $x\in\mathbb R$，$x^2\ge0$”的否定是：

$\displaystyle \exists x\in\mathbb R,\quad x^2<0.$

不是“对任意 $x$，$x^2<0$”，也不能只改量词不改结论。

恒成立与能成立

• $f(x)>0$ 恒成立：看最小值是否大于 $0$；
• $f(x)>0$ 能成立：看最大值是否大于 $0$；
• 恒成立照顾所有点，能成立只需找到一个点。

含参二次式必须先讨论最高次项系数为 $0$。例如 $ax^2+ax+1>0$ 对任意 $x$ 恒成立时，先验证 $a=0$，再对 $a\ne0$ 使用开口方向和判别式。

参变分离

把参数与变量分到不等号两侧，再研究已知函数在指定区间上的最值。存在 $x\in[1,2]$ 使 $ax>1$，等价于参数能够超过可达到的门槛，结论为

$\displaystyle a>\frac12.$

典型例题

存在实根。

“存在 $x$ 使 $x^2-2x+m=0$”为真，等价于 $\Delta\ge0$，所以 $m\in(-\infty,1]$。

区间上恒成立。

若对任意 $x\in[-1,1]$，都有 $x+2-a\le0$，则区间最大值不能超过 $0$。最大值在 $x=1$ 处取得，所以 $a\ge3$。

常见错误

只把“任意”改成“存在”，却没有把结论取反。

看见二次式就直接用判别式，漏掉最高次项系数为 $0$ 时退化为一次式或常数。

方法总结

全称命题找反例，存在命题找实例；命题否定用“量词互换、结论取反”；恒成立看最不利点，能成立只需一个可行点；含参二次式先检查退化。

自我检查

1. 写出“对任意 $x\in\mathbb R$，$x^2\ge0$”的否定。
2. 为什么含参数二次式要先讨论二次项系数为 $0$？
3. $f(x)>0$ 恒成立与能成立分别看最大值还是最小值？