第四讲 知识大纲：全称量词与存在量词 · 命题的否定 · 恒成立与能成立
配套清洗稿：clean_transcript_class4.md ｜ 课时：6/26 第 4 讲（常用逻辑用语收官）
一、充分条件与必要条件回顾
- 找"充分不必要条件" = 在集合中找题干的真子集；找"必要不充分条件" = 找包含题干的真超集。
- 数轴法：M∩P = [5, 8] ⇒ a ∈ [−3, 5]；充分不必要取范围内任意值；必要不充分取更大区间如 [−4, 6]。
二、避坑指南（四条）
- 分类讨论：分支间取并，分支内取交。
- 取值范围必用集合形式：区间或 {a | a > −1}；纯不等式 "a > −1" 扣 5 分（硬规矩）。
- 韦恩图法：集合包含/运算（含补集 C_U A）画图最直观。
- 小充分，大必要；充分 ⇔ 子集（充要=相等，充分不必要=真子集），必要不充分 ⇔ 反真子集。
三、全称量词与存在量词
- ∀（对任意 / 所有）；∃（存在 / 至少有一个）。
- 识别：凡"每一个 / 任意 / 都 / 全部"为全称；"存在 / 某个 / 有解 / 至少有一个"为存在。
四、命题的否定
规则
- 量词互换：∀ ↔ ∃。
- 结论翻面：≤↔>；<↔≥；=↔≠；"都"↔"不都"；"有"↔"没有"。
- 命题与否定必一真一假。
27 页速记
| 原命题 | 否定 | 答案 |
|---|---|---|
| ∀x∈R, x²≤0 | ∃x∈R, x²>0 | — |
| ∀n∈Z, n∈Q | ∃n∈Z, n∉Q | D |
| ∃有理数其平方无理 | ∀无理数其平方非有理 | B |
真命题判断
- 第 3 题（∀x>0,(x−1)²>0）为假：x=1 时为 0。
五、含参量词命题真假（例三、例四）
方法总纲
- 参数在最高次项系数 ⇒ 先考虑 a = 0（退化式单独验算），再讨论 a ≠ 0。
- 恒成立 / 有解，靠 Δ 与开口方向判定。
结论速查
| 题 | 条件 | 结果 |
|---|---|---|
| 例三(1) | 含参二次式 ∀x 恒非负 | a ≥ 0（选 B） |
| 例三(2) | ∀x, ax²+ax+1>0 恒成立 | a ∈ [0, 4) |
| 例四(1) | ∃x, x²−2x+m=0 有实根 | m ∈ (−∞, 1] |
| 例四(2) | ∃x, x²+x+(a−1)<0 | a ∈ (−∞, 5/4)（选 D，板上笔误已更正） |
六、恒成立与能成立（例五~例七）
核心口诀（必考）
| 类型 | 等价条件 | 看谁 |
|---|---|---|
| f(x)>0 恒成立 | f_min > 0 | 最小值 |
| f(x)>0 能成立 | f_max > 0 | 最大值 |
| M < g(x) 恒成立 | M < g_min | 最小值 |
| M > g(x) 能成立 | M > g_min | 最小值 |
"恒成立"看全体最极端；"能成立"只要一点满足。
结论速查
| 题 | 条件 | 结果 |
|---|---|---|
| 例五 | ∀x∈[1,2], x²+ax+3≥0 | a ∈ [−2√3, +∞)（选 B） |
| 参变分离 | ∃x∈[1,2], ax>1 | a > 1/2（选 C）；对任意则 a≥1 |
| 参变分离 | M>x²−2x+5 在[2,4]能成立 | M > 5（选 B） |
| 例六 | ∀x∈[1,3], M(x²−x+1)<6 | M ∈ (−∞, 6/7) |
| 例七(3) | ∀x∈[−1,1], x+2−a≤0 恒成立 | a ≥ 3 |
| 例七(4) | ∀x∈R, ax²+2x+1>0 为假 | a ≤ 1（选 A） |
参变分离模板
- 把参数 a 与变量 x 分到不等号两侧，转化为"a >（或 <）某函数"在给定区间上的最值问题。
七、习惯与结课
- 第二个习惯：用活页夹整理个人错题本（讲义 + 错题 + 知识点手册）。
- 当场小测（充分必要条件，大题写过程）；作业：讲义第 5、6 页；明日进不等式。