第五讲 知识大纲：作业讲评 · 不等式初步（比大小 · 取值范围 · 绝对值不等式）
配套清洗稿：clean_transcript_class5.md ｜ 课时：6/27 第 5 讲
一、恒成立 / 能成立求参（作业讲评）
第三题：全称二次 ≤ 0 恒成立
- 对任意 x∈R，(a−3)x² + a x − 1 ≤ 0 为真。
- 步骤：开口朝下 a−3<0；Δ = a² + 4(a−3) ≤ 0。
- 结论 a ∈ [−6, 2]。
第四题 / 第七题第二问：P、Q 与「恰有一个成立」
- 能成立：f(x)=x²−x+m−5/4，对称轴 x=1/2，[0,1] 上 x=0 最远最大。
- 能成立只需 f(0)≥0 → m ≥ 5/4（Q 成立区间 [5/4,+∞)）。
- P 成立 [1,2]；「恰有一个成立」= 只被一个区间盖住。
- 结论 x ∈ [1, 5/4) ∪ (2, +∞)。
第九、十题：充分/必要条件与真子集语序
- 找充分不必要 = 找题干的真子集；找必要不充分 = 找真包含题干者。
- 第十题：P=[−2,10]，Q=[1−M,1+M]，M>0，Q⊆P。
- 结论 M ∈ (0, 3]。
二、小测讲评
命题的否定
- 任意 ↔ 存在 互换，结论同时取反（两头都改）。
- 0 是高频坑：全称命题务必把 x=0 代进去验证。
第三题：B ⊆ A 求 m
- B≠∅，右端点≥左端点；B⊆A ⟺ B 左右端点分别夹在 A 内。
- 结论 m ∈ [2, 3]。
第四题：二次 ≤ 0 恒成立
- 先讨论 a=0（退化可取）；a≠0 开口朝下 a<0；Δ = a²−8a ≤ 0。
- 结论 a ∈ [0, 8]。
必要条件
- 「x∈P 是 x∈Q 的必要条件」⟺ P ⊇ Q（P 是大集合）。小充分，大必要。
三、避坑指南（恒成立 / 能成立类）
- 命题否定：量词改 + 结论反。
- 优先讨论「不是二次函数」：先 a=0 退化。
- 两法：数形结合（直观）、参变分离（研究已知函更顺）。常结合用。
四、根式比大小（不等式专题一）
比较 √7−√6 与 √6−√5（四法）
| 方法 | 要点 | 结论 |
|---|---|---|
| 平方 | 同加 √5+√6，比 √7+√5 与 2√6；12+2√35 < 12+2√36 | √7−√6 < √6−√5 |
| 平方差/有理化 | √7−√6=1/(√7+√6)，分母大者小 | 同上 |
| 数形结合 | y=√x 越右越缓，相邻增量递减 | 同上 |
| 计算器 | 平时验证，考试不靠 | — |
做差法（例三第一问）
- P−Q = (x−y)²+1 > 0 → P>Q，选 A。同类题一律做差。
糖水不等式（例四）
- 加糖浓度升但 <100%；游戏胜率类比。选 C、D。
五、取值范围与范围运算（不等式专题二）
区间加减
- 减法转加法：2x∈(−2,2)，−3y∈(−6,0) → 2x−3y ∈ (−8, 2)。
待定系数法（必考模板）
- 已知 x+y、2x−y 范围，求 4x+y：设 a(x+y)+b(2x−y)=4x+y → a=2,b=1。
- 4x+y = 2(x+y)+(2x−y)；若 x+y∈[−1,3]、2x−y∈[4,9] → [2,15]，选 C。
含绝对值的范围
- |B|≥0，下限是 0（非某正数）；−|B|∈[−4,0]；相加末端点可达性需检验。
除法范围
- a∈[6,8]，b∈(2,3) 同正 → 1/b∈(1/3,1/2) → a/b ∈ (2,4)。
- 铁律：乘除前确认同号；异号区间不能套「大大乘小」。
六、绝对值不等式解法（不等式专题三）
速查表（必考）
| 形式 | 转化 | 关系 |
|---|---|---|
| |f(x)| > a (a>0) | f(x) > a 或 f(x) < −a | 或（两段） |
| |f(x)| < a (a>0) | −a < f(x) < a | 且（夹中间） |
例
- |2x−1|>1 → x>1 或 x<0 → (−∞,0)∪(1,+∞)。
- |x−2|<1 → (1,3)。
- 例七：|2x|>2 → x<0 或 x>1；(1,4) 是 (1,3) 的必要不充分；x²≤4 → [−2,2]。
七、作业
- 讲义第 7–8 页，只写到第六题（含）；小测 test3 明日续做。
- 例八第二问：a:b:c = 2:1:3（设比例直接解）。
必考提醒
- 恒成立/能成立参数题（第三、四题套路）= 第一次月考首道大题级别，必考。
- 待定系数法求线性组合范围 = 高频选择/填空。
- 绝对值不等式「> 或、< 且」规律 = 选择填空送分点，务必背熟。
- 「取值范围用集合形式」硬规矩全程适用，裸不等式扣 5 分。