第五讲作业讲评 · 不等式初步（比大小 · 取值范围 · 绝对值不等式）

来源：20260627154101-转写_26暑0期-高一数学S4班（李）15_40-17_40-逐字稿文本-1.txt 课时：2026 暑 0 期高一数学 S4 班，6/27 第 5 讲（15:40–17:40）说明：已剔除课前/课间闲聊（买水、点名、座位、ASR 乱码与外语碎片）；修正口语口误；按内容逻辑重排分段。延续前 3 讲的「取值范围必须用集合形式回答」与「补集 C_U A」等规范。

一、作业讲评（一）：恒成立 / 能成立与充要条件

1. 第三题（全称命题恒成立求参）

题干大意：判断选项真假，其中某选项为「对任意 x₀∈R，(a−3)x₀² + a·x₀ − 1 ≤ 0 是真命题」，求 a 的取值范围。

全称二次函数 ≤ 0 恒成立，必须开口朝下：a − 3 < 0，即 a < 3。
判别式 Δ ≤ 0： Δ = a² − 4(a−3)(−1) = a² + 4(a−3) = a² + 4a − 12 ≤ 0 解得 (a+6)(a−2) ≤ 0 → a ∈ [−6, 2]（此区间已自动满足 a < 3）。
结论：a ∈ [−6, 2]。

心法：碰到「对任意 x，二次式 ≤ 0 恒成立」先定开口方向，再令 Δ ≤ 0。

2. 第四题 / 第七题第二问（P、Q 命题与「恰有一个成立」）

第七题第一问结论：x 的某范围 [1, 2]（记为 P 成立区间）。第二问：令 Q 为「存在 x 使 x² − x + m − 5/4 ≥ 0 能成立」（注意是存在性，不是恒成立）。

函数 f(x) = x² − x + m − 5/4，对称轴 x = 1/2。在 [0,1] 上离对称轴最远的点是 x = 0，该处函数值最大。
「能成立」只需最大值 ≥ 0 即可结束：f(0) = m − 5/4 ≥ 0 → m ≥ 5/4。即 Q 成立区间对应 [5/4, +∞)。

一步到位法（图会说话）：把 P、Q 一次性画在同一根数轴上——

P 成立：[1, 2]；Q 成立：[5/4, +∞)。
在轴上「插一根针」代表取某点 x：针只被其中一个区间盖住，就是「有且仅有一个成立」。
逐一观察：
- x = 1：P 真、Q 假 → 计入；
- (1, 5/4)：P 真、Q 假 → 计入；
- x = 5/4：P、Q 都真 → 不计入；
- (5/4, 2)：都真 → 不计入；
- x = 2：都真 → 不计入；
- (2, +∞)：P 假、Q 真 → 计入。

结论：恰有一个成立 ⟺ x ∈ [1, 5/4) ∪ (2, +∞)。

取值范围规范（前讲硬规矩，再次强调）：答案必须写成集合形式（区间或 {x | …}），不可只写 "1 ≤ x < 5/4 或 x > 2"。

3. 第九题、第十题（充分/必要条件与真子集语序）

第九题（找条件，本质是语序问题）

找「题干的充分不必要条件」= 在集合中找被题干真包含的真子集（题干 ⊋ 选项）。
找「题干的必要不充分条件」= 找真包含题干的集合（选项 ⊋ 题干）。
例：题干某区间，A 选项 [−2, 2] 把题干真包含过去 → 题干是 A 的必要不充分条件，即 A 是题干的充分不必要条件；本题问必要不充分条件，答案选 A。

第十题（Q ⊆ P 求参） 已知 P = [−2, 10]，Q = [1 − M, 1 + M]，M > 0。P 是 Q 的必要充分条件 ⟺ Q ⇒ P ⟺ Q ⊆ P。

左端点：1 − M ≥ −2 → M ≤ 3；
右端点：1 + M ≤ 10 → M ≤ 9；
结合 M > 0，且 M = 3 时 Q = [−2, 4] ⊂ [−2, 10]（真子集，成立）。

结论：M ∈ (0, 3]。

二、小测讲评：命题否定与集合包含

1. 命题的否定（任意 ↔ 存在）

小测第一题涉及原命题真假与否定。规则：

全称（任意）命题的否定 → 特称（存在）命题，结论同时取反；
特称（存在）命题的否定 → 全称（任意）命题，结论同时取反。
即「前面的量词要改，后面的东西也要改」。

例：小测第二题「存在 x → 2 使某式 < 0」。配方 x² + … = (x+1)² + 1 ≥ 1 > 0，恒正，故该命题为假；其否定为全称命题且为真。另一处「对任意 x，x² ≤ …」务必把 x = 0 代进去看（0 是高频踩坑点）。

2. 第三题（B ⊆ A 求参数）

已知 B ≠ ∅（空集已强调过），先有「右端点 ≥ 左端点」。B 是 A 的子集 ⟺ B 的左端点 ≥ A 的左端点、B 的右端点 ≤ A 的右端点。

由题意得 2m − 1 = …、m + 1 ≥ −2，解得 m ∈ [2, 3]。

3. 第四题（二次 ≤ 0 恒成立求参）

「二次式 ≤ 0 恒成立」：

先考虑 a = 0（退化）：此时为常数式 ≤ 0，成立，故 a = 0 可取；
a ≠ 0 时必须开口朝下：a < 0；
图像全在 x 轴下方或相切 ⟺ Δ ≤ 0： Δ = a² − 8a ≤ 0 → a(a − 8) ≤ 0 → a ∈ [0, 8]。
合并 a = 0 与 a < 0 部分：a ∈ [0, 8]。

注意：开口朝上是「≥ 0 恒成立」的姿势；要「≤ 0 恒成立」必须开口朝下，否则二次函数总会在两端冲到 +∞。

4. 必要条件再巩固（小充分，大必要）

「x ∈ P 是 x ∈ Q 的必要条件」⟺ Q ⇒ P ⟺ P 是较大的集合，把 Q 包含进去（P ⊇ Q）。口诀仍是：小充分，大必要。

三、避坑指南（恒成立 / 能成立类）

命题的否定：任意改存在、存在改任意，结论取反，两头都改。
优先考虑「不是二次函数」的情况：先单独讨论 a = 0（退化一次/常数），再讨论 a ≠ 0 的二次情形。
两种做法：
- 数形结合：画图直观，代数想不清时用形状/图像解决最直接；
- 参变分离：把含参量 M 与变量分离到两边，只研究已知的那一个函数，往往更顺手。
- 二者常结合使用：先把整个带 M 的式子归一边，再研究分离后的函数。

四、不等式专题（一）：根式比大小

1. 例：比较 √7 − √6 与 √6 − √5（四种方法）

方法一 · 平方（先变形再平方） 同时加上正数 √5 + √6，比较 √7 + √5 与 2√6：

(√7 + √5)² = 12 + 2√35；(2√6)² = 12 + 2√36。
√35 < √36 → √7 + √5 < 2√6 → √7 − √6 < √6 − √5。

方法二 · 平方差 / 分子有理化 √7 − √6 = 1 / (√7 + √6)，√6 − √5 = 1 / (√6 + √5)。分母 √7 + √6 > √6 + √5 → 前者更小 → √7 − √6 < √6 − √5。

方法三 · 数形结合（y = √x 图像） y = √x 在第一象限递增但增速递减（越往右山坡越缓），相邻整数点的增量越来越小，故 √7 − √6 < √6 − √5。

方法四 · 计算器（仅平时验证用，正经考试以前三种为准）。

2. 例三第一问（做差法）

比较 P、Q：P − Q = (x − y)² + 1 > 0 恒成立 → P > Q，选 A。同类题一律「直接做差」即可。

3. 例四（糖水不等式 / 浓度模型）

往糖水中持续加糖，浓度单调上升但永远到不了 100%（受溶解度限制）。类比：游戏胜率 50% 后连赢，胜率一路升但达不到 100%。结论选项 C、D 正确。也可用直接代数计算验证。

五、不等式专题（二）：取值范围与范围运算

1. 区间加减（减法转加法）

已知 2x ∈ (−2, 2)，−3y ∈ (−6, 0)，则 2x − 3y = 2x + (−3y) ∈ (−8, 2)（同向区间直接相加）。

2. 待定系数法（已知线性组合的范围，求另一组合）

已知 x + y 与 2x − y 的范围，求 4x + y：设 a(x + y) + b(2x − y) = 4x + y，比较系数：

x：a + 2b = 4；y：a − b = 1 → a = 2，b = 1。即 4x + y = 2(x + y) + (2x − y)。若 x + y ∈ [−1, 3] → 2(x + y) ∈ [−2, 6]；2x − y ∈ [4, 9]；相加得 4x + y ∈ [2, 15]，选 C。

消元凑系数比硬解 x、y 更稳，是这类题的标准模板。

3. 含绝对值的范围（|x| 下限是 0）

求带 |B| 的范围时记住：|B| ≥ 0，下限是 0，不是某个正数（如误以为 |B| ∈ [2, 4]）。

若 |B| ∈ [0, 4]，则 −|B| ∈ [−4, 0]。
再与另一区间（如 [1, 3]）相加得 [−3, 3]；但末端点能否取到要检验「两边能否同时取到对应值」，本题答案选 C（取不到上界 3）。

4. 除法范围（先取倒数）

已知 a ∈ [6, 8]，b ∈ (2, 3)（均为正）：

1/b ∈ (1/3, 1/2)；
a/b = a · (1/b)，正数范围端点相乘：6·(1/3) = 2，8·(1/2) = 4 → a/b ∈ (2, 4)。

范围运算铁律：能相乘/相除前先确认同号；异号的区间不能直接套「大大乘小」。

六、不等式专题（三）：绝对值不等式解法

核心规律

|f(x)| > a（a > 0）⟺ f(x) > a 或 f(x) < −a（或关系，两段）；
|f(x)| < a ⟺ −a < f(x) < a（且关系，夹在中间）。

例

|2x − 1| > 1 → 2x − 1 > 1 或 2x − 1 < −1 → x > 1 或 x < 0 → (−∞, 0) ∪ (1, +∞)。
|x − 2| < 1 → −1 < x − 2 < 1 → 1 < x < 3 → (1, 3)。
例七：|2x| > 2 → x < 0 或 x > 1；第二问解集 (1, 4) 是 (1, 3) 的必要不充分条件（小充分大必要）；第三问解集 x² ≤ 4 → [−2, 2]。

绝对值单一个绝对值与数字比，统一套上面规律即可，无需 0 点分段讨论。

七、作业与结课

今日作业：讲义第 7–8 页，**只写到第六题（含第六题）**为止。
小测（test3）当场下发，未做完的明日续做；其答案要点见本讲第二节。
例八第二问速解：直接设比例 a : b : c，由 −C − B = −2、C − B = 1 得 b = 1/2、c = 3/2、a = 1，故 a : b : c = 2 : 1 : 3。

本讲修正 / 注意点

「m − 4/0」口误修正：第七题第二问能成立条件原转写为「m − 4/0」，实为 m − 5/4 ≥ 0，即 m ≥ 5/4（对应 Q 成立区间 [5/4, +∞)）。
「德塔」规范为 Δ：第三题、第四题判别式口播「德塔」统一写为 Δ；第三题 Δ = a² + 4(a−3)，第四题 Δ = a² − 8a，计算无误。
区间开闭以答案反推：第七题「恰有一个成立」答案依数轴法为 [1, 5/4) ∪ (2, +∞)（1 可取、5/4 与 2 不可取）；转写中「1~~2」「5/4 到正无穷」的「~~」仅表大致区间，端点闭开以此为准。
**「取值范围必须用集合形式」**规范全程贯彻（如 M ∈ (0, 3]、a ∈ [0, 8]、x ∈ [1, 5/4) ∪ (2, +∞) 等），不再出现裸不等式。
「补集」规范：本讲未出现「普及」误转，但延续前讲约定，凡集合补集一律写作 C_U A、符号用 ∅ ⊆ ⊊ ∪ ∩。
歧义说明：第七题 P、Q 的具体命题文字在转写中缺失，仅存区间结论 [1,2] 与 [5/4,+∞) 及「恰有一个成立」答案；小测（test3）第一题原命题原文缺失；糖水例四原文仅给「选 C、D」，均按老师口述结论保留，建议以课堂板书核对原题。