第十讲 知识大纲：函数解析式·求解析式的四种方法

配套清洗稿：clean_transcript_class10.md ｜ 课时：7/2 第 10 讲

一、换元法求值域（衔接）

三步例题速记

• 关键：换元必写新元范围；约分先补被约去因式导致的丢失点。
• 避坑指南：定义域优先（处理任何函数问题第一句话）。

二、求解析式·四种方法

方法一：待定系数法（先知函数类型）

• 一次函数嵌套：f(f(x)) = 4x−1 → f(x) = 2x−⅓ 或 −2x+1。
• 二阶差：f(x+1)−f(x)=2x 且 f(0)=1 → f(x)=x²−x+1。
• 顶点式：对称轴 x=2、最大值 5、f(0)=1 → f(x)=−(x−2)²+5。

方法二：配凑法（脑内换元）

• f(x+1)=2x²+5x+2 → 把 x 写成 (x+1)−1 配出整体 → f(x)=2x²+x−1。

方法三：换元法（纸面换元·四步）

• ①换元 ②写新元范围 ③反表示 ④写 f(t)。
• f(√x+1)=x+2√x → t=√x+1（t≥1）→ f(x)=x²−1（x≥1）。

方法四：方程组法（对称代换+联立消元）

• 例1-3：f(−x)+2f(x)=x²−2x → x→−x 联立 → f(x)=x²/3−2x。
• 例1-4：a·f(x)+f(1/x)=a·x（a≠±1）→ x→1/x 联立 → f(x)=(a²x−a/x)/(a²−1)。
• 必考：高一下抽象函数超级难点（教材 105–106 页）。

三、赋值法（抽象函数）

• 精髓：把变量赋成具体数（0、1、对称点），化抽象为具体。
• 例：结合 f(0)=3，令 y=0、令 x=y=0 → f(x)=2x+3，x∈(−3,+∞)。
• 交叉项→平方：f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy → f(x)=x²。

四、综合·换元求值域（带参数）

• f(x)=(√x+1)/(x+3)，x∈[0,1/4] → t=√x+1∈[1,3/2]。
• 化为 1/(t+4/t−2)；对勾 t+4/t 在 [1,3/2] 递减 → f 递增。
• 端点：t=1→1/3（最小），t=3/2→6/13（最大）→ 值域 [1/3, 6/13]。

五、作业

• 完成"函数解析式"这一讲配套练习。

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