第十讲函数解析式：求解析式的四种方法（附换元法求值域）

来源：20260702153346-转写_26暑0期-高一数学S4班（李）15_40-17_40-逐字稿文本-1.txt 课时：2026 暑 0 期高一数学 S4 班，7/2 第 10 讲（15:40–17:40）说明：已剔除课前小测发放、AI 演示闲谈、课间闲聊、点名与 ASR 乱码；修正口误（泰勒法→配凑法、复制法→赋值法、闭坑→避坑）；按内容逻辑重排分段。

一、衔接：换元法求值域（66 页）

昨天停在 66 页，先用换元把"带根号"的函数值域求出来。换元四步：①换元 ②写新元范围 ③反表示（x 表示成 t）④写出 y 关于 t。

例一：y = x + √(2x − 1)

令 t = √(2x − 1)（t ≥ 0），则 x = (t² + 1)/2。
y = (t² + 1)/2 + t = ½(t + 1)²。
不带范围时 ½(t+1)² ≥ 0；带上 t ≥ 0 后收紧为 y ≥ ½。
值域：{ y | y ≥ ½ }，即 [½, +∞)。

例二：y = x + √(1 − x)

令 t = √(1 − x)（t ≥ 0），则 x = 1 − t²。
y = (1 − t²) + t = −t² + t + 1，开口向下，对称轴 t = ½。
t = ½ 时 y_max = −¼ + ½ + 1 = 5/4；向下无界。
值域：{ y | y ≤ 5/4 }，即 (−∞, 5/4]。
补充（初中术语）：根号有"双重非负性"——根号下整体 ≥ 0，且根号值本身 ≥ 0，所以新元必须写范围。

例三（约分别漏定义域）：y = (x+1)(x+3) / ((x+3)(x−2))

约掉 (x+3) 前必须补 x ≠ −3，否则会丢点。
约分后 y = (x+1)/(x−2)，但原函数要求 x ≠ −3 且 x ≠ 2。
y = 1 无解（(x+1) = (x−2) 矛盾）；把 x = −3 代入约分式得 2/5，但原函数在 x = −3 处无定义，故 y ≠ 2/5。
值域：{ y | y ≠ 2/5 且 y ≠ 1 } = (−∞, 2/5) ∪ (2/5, 1) ∪ (1, +∞)。

避坑指南（定义域优先）：处理任何函数问题，定义域优先；换元法务必写出新元取值范围；"定义域"永远指 x 的范围。这句话陪你三年，可以写最大字号贴在桌上。

二、新课：求解析式——四种方法

讲义第九讲共学四种方法：待定系数法、配凑法、换元法、方程组法。其中方程组法最抽象，要耐心。

方法一：待定系数法

例（一次函数嵌套）：已知 f(x) 为一次函数，且 f(f(x)) = 4x − 1，求 f(x)。

设 f(x) = kx + b，则 f(f(x)) = k(kx+b) + b = k²x + b(k+1) = 4x − 1。
比较系数：k² = 4，b(k+1) = −1。
- k = 2 ⇒ b = −⅓，得 f(x) = 2x − ⅓；
- k = −2 ⇒ b = 1，得 f(x) = −2x + 1。
结论：f(x) = 2x − ⅓ 或 f(x) = −2x + 1。

例（二次函数，差为一阶式）：已知 f(x+1) − f(x) = 2x，且 f(0) = 1，求 f(x)。

设 f(x) = ax² + bx + c，则 f(x+1) − f(x) = 2ax + (a + b)。
2a = 2 ⇒ a = 1；a + b = 0 ⇒ b = −1；f(0) = c = 1。
f(x) = x² − x + 1。

例（顶点式）：已知 f(2−x) = f(2+x)，最大值为 5，且 f(0) = 1，求 f(x)。

f(2−x) = f(2+x) ⇒ 对称轴 x = 2；最大值 5 ⇒ 顶点 (2, 5)，a < 0。
设 f(x) = a(x−2)² + 5；由 f(0) = 1：4a + 5 = 1 ⇒ a = −1。
f(x) = −(x−2)² + 5 = −x² + 4x + 1。

方法二：配凑法

核心：把括号里的整体"抠出来"配成同一结构，等价于"脑内换元"。例：已知 f(x+1) = 2x² + 5x + 2，求 f(x)。

把 x 写成 (x+1) − 1，则 2x² + 5x + 2 = 2[(x+1)−1]² + 5[(x+1)−1] + 2。
令 t = x + 1，则 f(t) = 2(t−1)² + 5(t−1) + 2 = 2t² + t − 1。
f(x) = 2x² + x − 1。

配凑与换元本质相通：配凑是"脑内换元"，换元是"纸面换元"。换元四步再强调一遍：①换元 ②写新元范围 ③反表示 ④写 f(t)。

方法三：换元法

例 1-1：已知 f(√x + 1) = x + 2√x，求 f(x)。

令 t = √x + 1，则 √x = t − 1（t ≥ 1），x = (t−1)²。
f(t) = (t−1)² + 2(t−1) = t² − 1。
f(x) = x² − 1（x ≥ 1）；最小值 0（t = 1 时取到）。

方法四：方程组法

靠"对称代换"（x → −x 或 x → 1/x）再联立消元。 例 1-3：已知 f(−x) + 2f(x) = x² − 2x，求 f(x)。

原式中用 −x 代 x：f(x) + 2f(−x) = x² + 2x。
原式 ×2：2f(−x) + 4f(x) = 2x² − 4x；减上式得 (2x² − 4x) − (x² + 2x) = 3f(x)。
3f(x) = x² − 6x ⇒ f(x) = x²/3 − 2x。

例 1-4：已知 a·f(x) + f(1/x) = a·x（a ≠ ±1），求 f(x)。

用 1/x 代 x：a·f(1/x) + f(x) = a/x。
联立消去 f(1/x)：由原式 f(1/x) = a x − a f(x)，代入得 a(a x − a f(x)) + f(x) = a/x ⇒ f(x)(1−a²) = a/x − a²x。
f(x) = (a²x − a/x)/(a² − 1) = [a/(a²−1)](a x − 1/x)。

必考提醒：方程组法是高一下学期抽象函数超级难点（教材 105–106 页专讲），关键是"对称代换 + 联立消元"，平时就要练熟。

三、赋值法（抽象函数）

例（具体赋值求解析式）

令 y = 0 代入抽象函数方程，结合 f(0) = 3，得 f(3) = 3f(x) − 6x。
再令 x = y = 0，得 f(3) = 9。
故 9 = 3f(x) − 6x ⇒ f(x) = 2x + 3，定义域 x ∈ (−3, +∞)。

例（交叉项 → 平方）：已知 f(x+y) = f(x) + f(y) + 2xy，求 f(x)。

交叉项 2xy 来自 (x+y)² 展开，猜 f(x) = x²。
验证：(x+y)² = x² + y² + 2xy = f(x) + f(y) + 2xy ✓。
f(x) = x²。

赋值法精髓：把变量赋成具体数（0、1、对称点），化抽象为具体。教材 105–106 页专门讲，是高一上超级难点，先建立"赋值"的意识。

四、综合：换元法求值域（带参数）

例 1-4 第二问：已知 f(x) = (√x + 1)/(x + 3)，x ∈ [0, 1/4]，求值域。

令 t = √x + 1，由 x ∈ [0, 1/4] 得 t ∈ [1, 3/2]（老师口述 a = 1/4）。
x = (t−1)²，则 f = t/((t−1)² + 3) = t/(t² − 2t + 4) = 1/(t + 4/t − 2)。
t + 4/t 是对勾函数，最低点在 t = 2（区间外）；在 [1, 3/2] 上递减，故 f 递增。
端点：t = 1 ⇒ f = 1/3（最小）；t = 3/2 ⇒ f = 6/13（最大）。
值域 [1/3, 6/13]（对勾函数完整图像留待后续专讲，届时再细证单调性）。

五、作业与结课

本讲配套作业即"函数解析式"这一讲练习，照常完成。
提前下课，祝大家查到理想成绩。

本讲修正 / 注意点

原转写把"配凑法"口误成"泰勒法"，已改为配凑法；"赋值法"口误成"复制法"，已改为赋值法；"避坑指南"口误成"闭坑指南"，统一为避坑指南。
例 1-4（a·f(x) + f(1/x) = a·x）原方程在 ASR 中严重错位（转成"F(X分之一)加上FX等于X分之a"），已据老师给出的正确结论反推并补全为 a·f(x) + f(1/x) = a·x（a ≠ ±1）。
赋值法首例的抽象函数方程原式 ASR 极乱，按老师"令 y=0、令 x=y=0"的赋值过程与结论 f(x) = 2x + 3、定义域 (−3, +∞) 复原，具体原方程以板书为准核对。
取值范围 / 值域一律用集合或区间形式（如 [1/3, 6/13]、{ y | y ≠ 2/5 且 y ≠ 1 }），不写纯不等式；延续前几讲"取值范围必须用集合形式回答"的硬规矩。
衔接段三道换元求值域题的"新元范围"（t ≥ 0 / t ≥ 1）是解题关键，ASR 口播易漏，已逐题补全。