第十二讲 知识大纲：函数单调性复习 · 函数奇偶性
配套清洗稿：clean_transcript_class12.md ｜ 课时：7/6 第 12 讲
一、分段函数单调性"三条件"（作业讲评）
模板
- ① 各段内部单调（比对称轴 / 参数符号）
- ② 衔接处不降：左段分界点值 ≤ 右段分界点值
- 求参数范围 → 集合 / 区间形式
84 页结论速查
| 题 | 结论 |
|---|---|
| 1 | B |
| 2 | C（转折点 −a/3 = 3 ⇒ a = −9） |
| 3 | B（m ∈ (0, 2]） |
| 4 | B（三条件，a ≥ −3 等） |
| 5 | B |
| 6 | B（a ∈ [1, 2]） |
| 7 | a ∈ (−2, +∞)；B 可取 −1；A、C 对 |
| 8 | a ∈ (−∞, 0] ∪ [4, +∞) |
| 9 | a ∈ (0, 1)（不单调） |
| 10 | 第二问 a ∈ (−2, +∞) |
二、函数奇偶性（新课）
定义
- 偶：f(−x) = f(x)，y 轴对称；奇：f(−x) = −f(x)，原点对称。
- 定义域优先：须关于原点对称。
- 既奇又偶：f(x) ≡ 0（定义域对称）。
- 奇且在原点有定义 ⇒ f(0) = 0。例 f(x) = x + 1 + a 奇 ⇒ a = −1。
判断（定义法）
- f(−x) = f(x) 偶；= −f(x) 奇；否则非奇非偶。
复合函数
- 含任一偶函数 ⇒ 整体偶；全奇 ⇒ 整体奇（"奇是门放负号，偶消化负号"）。
抽象函数（赋值法）
- f(a + b) = f(a) + f(b)：a = b = 0 ⇒ f(0) = 0；b = −a ⇒ f(−a) = −f(a) ⇒ 奇。
运算性质
- 奇 ± 奇 = 奇，偶 ± 偶 = 偶，奇 ± 偶 = 非奇非偶。
- 奇 × 奇 = 偶，偶 × 偶 = 偶，奇 × 偶 = 奇。
拆解技术（必考）
- 任意 f（定义域对称）= 奇部 + 偶部：
- 奇部 g(x) = [f(x) − f(−x)] / 2
- 偶部 h(x) = [f(x) + f(−x)] / 2
- 例 e^x = (e^x − e^{−x}) / 2 + (e^x + e^{−x}) / 2
例题：奇 + 常数 = 中心平移
- f(x) = x⁵ + ax³ + bx − 8：奇部中心原点，−8 ⇒ 中心 (0, −8)。
- 已知 f(−2) = 10 ⇒ f(2) = 2 · (−8) − 10 = −26。
- 口诀：已知左点 + 中心求右点 = 2 · y_中 − y_左。
91–92 页习题结论
- f(1) = 2 ⇒ f(−1) = −2；题3 a = 0 偶、a ≠ 0 非奇非偶；题4 g(x) = f(x) + x²，g(1) = 3、g(−1) = −1；题6 f(8) = 4 ⇒ f(−8) = −4。
三、三种等价表述 + 求解析式
- f(−x) = −f(x)（验证）/ f(−x) + f(x) = 0（验证强化）/ f(x) = −f(−x)（求解）。
- 分段 + 奇求解析式："求谁设谁"，f(x) = −f(−x)；口诀"保留奇部、偶部取反"。
四、性质意义 + 作业
- 单调性 / 奇偶 / 对称 / 周期 / 凹凸 = 刻画函数的尺子；sin x 综合示例。
- 作业：第 18、19 页；收小测。
必考提醒
- 分段函数单调性"三条件"、奇偶定义法、奇 + 常数的中心平移、任一函数 = 奇 + 偶 拆解——均属函数核心，月考 / 期中常考。
- 取值范围一律集合 / 区间，否则扣分。