第十二讲函数单调性复习 · 函数奇偶性

来源：20260706154813-转写_26暑0期-高一数学S4班（李）15_40-17_40-逐字稿文本-1.txt 课时：2026 暑 0 期高一数学 S4 班，7/6 第 12 讲（15:40–17:40）说明：已剔除课前闲聊（忘开会议、鸡排、点名郭文轩/王一茹等）、课间闲谈、ASR 乱码与英文碎碎念；修正口误；按内容逻辑重排分段。前半段为单调性作业讲评，后半段为新知"函数奇偶性"。

一、承上启下：分段（与有理）函数单调性作业讲评（84 页 1–10 + 小测）

本讲先用约 45 分钟讲评上节课（单调性）的 84 页作业。核心方法是分段函数单调性的"三条件"，下面先给模板，再列各题结论。

1. 分段函数单调性的"三条件"模板

若函数在整体定义域上单调增，需同时满足：

① 左段内部单调增（比较对称轴/顶点与分界点：如对称轴在分界点右侧）；
② 右段内部单调增（由参数符号定，如右段含 2a，需 2a > 0 ⇒ a > 0）；
③ 衔接处"不能减下来"：左段在分界点的函数值 ≤ 右段在分界点的函数值。

把这三件事列完，再求参数的取值范围（一律用集合/区间表示，不写纯不等式）。

2. 84 页各题结论（老师口述）

题1 选 B；题2 选 C（|3x + a/3| 的转折点在 x = −a/3，令其等于 3 ⇒ a = −9）。
题3 选 B：垂直渐近线在 x = m，要使函数在 [2, +∞) 单调递减，需 m ∈ (0, 2]（不能取 0，可以取 2）。
题4 选 B：用三条件——对称轴在 1 右侧；右段单调增；衔接处左值在 x = 1 处为 −a − 6 ≤ 右值 a ⇒ a ≥ −3。
题5 选 B；题6 选 B：综合"轴 ≥ 0、2a − 1 > 0、衔接处左值 0 ≤ 右值 a − 1"，并受另一约束 a ≤ 2，得 a ∈ [1, 2]。
题7：a > −2（不能等于 2 那侧，故 a ∈ (−2, +∞)）；边界 B 能否取 −1 需讨论——B = −1 时，[−1, +∞) 上仍单调增，故 B 可以取 −1。该题 A、C 两选项均对。
题8：a ∈ (−∞, 0] ∪ [4, +∞)（轴 ≤ 1 可等，或轴 ≥ 3 可等）。
题9：要使函数不单调，需对称轴 1/a ∈ (1, +∞)，故 a ∈ (0, 1)。
题10（第二问）：用画图法，x ≠ 2、y ≠ 1，f(0) = −a/2 需在 y = 1 下方 ⇒ −a/2 < 1 ⇒ a ∈ (−2, +∞)。
小测 test11：单调性证明，是书上原题（写"任取 x₁, x₂…作差定号"），两天前已练过。

说明：以上结论为老师口述，部分参数数字在转写中较乱；求参数范围一律已写成集合/区间形式，精确数值以课堂板书为准（见文末注意点）。

二、新课：函数奇偶性（教材 87–92 页）

1. 定义与图像特征

偶函数：f(−x) = f(x)，图像关于 y 轴对称。例：x²、|x|。
奇函数：f(−x) = −f(x)，图像关于原点对称。例：1/x、x³。

2. 定义域优先

判断奇偶性前，先看定义域是否关于原点对称——否则谈不上奇偶。这是函数部分最重要的观点。

3. 既是奇函数又是偶函数

若定义域关于原点对称，且 f(x) ≡ 0，则它既关于原点对称、又关于 y 轴对称，即既奇又偶。

4. 奇函数在原点有定义时 f(0) = 0

原点在定义域内 ⇒ f(0) = 0（因图像必关于原点对称）。例：f(x) = x + 1 + a 为奇函数 ⇒ f(0) = 1 + a = 0 ⇒ a = −1。

5. 定义法判断奇偶性

先看定义域关于原点对称；再算 f(−x)：

等于 f(x) → 偶函数；
等于 −f(x) → 奇函数；
无上述关系 → 非奇非偶函数。例：f(x) = −x − 3x（即 −4x），f(−x) = −f(x)，是奇函数。

6. 复合函数的奇偶性（"负号之旅"）

把奇函数比作一道"门"——能放出负号；偶函数会"消化"负号（负号消失）。

只要嵌套中出现任意一个偶函数，整体就是偶函数；
只有全部为奇函数，整体才是奇函数。例：内层 x²（偶）→ 负号一开始就消失；内层奇、外层奇 → 负号被两层放出，整体奇。

7. 抽象函数的奇偶性（赋值法）

无解析式即"抽象函数"。例：已知 f(a + b) = f(a) + f(b)，证 f(x) 为奇函数。

令 a = b = 0 ⇒ f(0) = 2f(0) ⇒ f(0) = 0；
令 b = −a ⇒ f(0) = f(a) + f(−a) ⇒ f(−a) = −f(a)；
故 f(x) 为奇函数。

赋值法（令变量取特殊值，尤其盯 0）是处理抽象函数的核心手法。

8. 奇偶性的运算性质

加/减：奇 ± 奇 = 奇，偶 ± 偶 = 偶；奇 ± 偶 = 非奇非偶。
乘：奇 × 奇 = 偶，偶 × 偶 = 偶，奇 × 偶 = 奇。例：x · x² = x³（奇 × 偶 = 奇）。

类比：两增函数相加仍增，两减函数相加仍减。

9. 任一函数 = 奇函数 + 偶函数（拆解技术）

只要定义域关于原点对称，任意 f(x) 都能拆成"奇部 + 偶部"：

奇部 g(x) = [f(x) − f(−x)] / 2；
偶部 h(x) = [f(x) + f(−x)] / 2；
则 f(x) = g(x) + h(x)，且 g 奇、h 偶。验证：g(−x) = [f(−x) − f(x)] / 2 = −g(x)（奇）；h(−x) = [f(−x) + f(x)] / 2 = h(x)（偶）。例：f(x) = e^x（e ≈ 2.71828，定义域 R）。
奇部 (e^x − e^{−x}) / 2，偶部 (e^x + e^{−x}) / 2，二者叠加还原 e^x。

其中"零函数"最特殊：它既奇又偶，可作为任一部分的"零件"。

10. 例题：奇函数 + 常数 ⇒ 对称中心平移（f(x) = x⁵ + ax³ + bx − 8）

结构：x⁵ + ax³ + bx 是奇函数（对称中心原点），再 −8（即 +C，C = −8）⇒ 对称中心平移到 (0, −8)。
已知 f(−2) = 10，即点 (−2, 10) 在图像上；由中点公式： f(2) = 2 · (−8) − 10 = −26。
推广：已知"左点 + 中心"求"右点" = 2 · y_中心 − y_左点（中心对称的中点公式）。

此法比死套方程组快得多：抓住"奇部对称中心 + 常数平移"即可。

11. 91–92 页习题（奇偶结合求值）

题1：f(1) = 2，f 奇 ⇒ f(−1) = −2。
题2（x + (1 − 2m)/x 型）：1/x 是奇，整体为奇 ⇒ 平移量 1 − 2m = 0 ⇒ m = 1/2（或从"奇函数图像不平移、左加右减"理解：要关于原点对称就不能平移，故 1 − 2m = 0）。
题3：f(x) = x² + a/x。a ≠ 0 时偶 + 奇 = 非奇非偶；a = 0 时即 x² 为偶函数。
题4（较难）：g(x) = f(x) + x²，f 奇，f(1) = 2。g(1) = f(1) + 1 = 3；g(−1) = f(−1) + 1 = −2 + 1 = −1。
题5：由所给关系式先求 g(2) = 15，再得 f(2) = 6（f 奇 ⇒ f(−2) = −6）。
题6：f(8) = 4，f 奇 ⇒ f(−8) = −4。
题7：f(1) = 3，f 奇 ⇒ g(−1) = −f(1) = −3，再顺推 f(−3) 等（拆括号法）。

诀窍：先用奇性把 f(−t) 换成 −f(t)，再代入已知数。

三、奇偶性的三种等价表述与"分段 + 奇偶求解析式"

1. 三种等价表述（主语 / 用途不同）

f(−x) = −f(x)——原始定义，用于"验证"一个函数是否奇；
f(−x) + f(x) = 0——验证强化版（"消消乐"，避免左右分别变形）；
f(x) = −f(−x)——用于"求解析式"（主语就是 f(x)）。三者本质同一式，但用途有别。

2. 分段函数 + 奇偶性求解析式

已知 f 为奇函数，且 x > 0 时 f(x) = x² + x + 1，求 x < 0 的解析式：

"求谁设谁"：令 x < 0，则 −x > 0，代入已知式 f(x) = −f(−x)；
f(x) = −[(−x)² + (−x) + 1] = −(x² − x + 1) = −x² + x − 1；
又 f(0) = 0（奇且在原点有定义）。

口诀：奇函数"保留奇的部分、把偶的部分取反"。更快的做法：直接对整个已知式取 −f(−x)。

四、为什么要学函数性质 + 作业

1. 性质是"刻画函数的尺子"

单调性、奇偶性、对称性、周期性、凹凸性，是分析函数的不同"角度"。例：sin x——奇；多段增/减区间；无数对称轴（x = π/2 + kπ）与对称中心（kπ, 0）；周期 2π。未来第五章学三角函数、指数、对数、幂函数，都要用这些性质描述。

2. 作业

第 18、19 页题目（较难，做不出没关系），明天课上讲评；
收小测（含单调性证明大题）。

本讲修正 / 注意点

本讲实际未涉及"补集"，但延续 class3 规范：一律用补集 C_U A、标准符号 ∅ ⊆ ⊊ ∪ ∩，ASR 误转已还原。
单调性作业讲评（84 页）中各题参数数字在 ASR 中转写较乱（如 −a/3、a ∈ [1, 2]、a ∈ (−2, +∞) 等边界口播易混），各题精确数值请以课堂板书核对；结论已按"取值范围用集合/区间回答"的规矩统一改写。
题4（91–92 页）ASR 口播出现 "f(−1) = −3" 的跳变，按奇函数 f(1) = 2 ⇒ f(−1) = −2 已静默修正为正确推导（g(−1) = −1）；其余中间数字若与板书不符以板书为准。
延续硬规矩：凡问"a 的取值范围"一律写成区间或 {x | …} 形式，不写纯不等式，否则扣分。
ASR 中数学符号多被转成中文（如"普及→补集""加""减"等）、英文碎碎念（Notions / Good / Sora 等）已剔除或还原。