第十三讲 知识大纲：函数专题（作业/小测讲评 · 函数解析式 · 对勾函数 · 图像变换 · 对数初步）
配套清洗稿：clean_transcript_class13.md ｜ 课时：7/7 第 13 讲
一、作业讲评要点（H8–H12）
函数定义（H8）
- 数集到数集的对应才是函数；"三角形"非数字集合，不构成函数（坑点）。
值域/定义域（H9）
- x∈[−2,2] ⇒ x²∈[0,4] ⇒ x²+1∈[1,5]。
- 斜率判定：自变量增 2、函数值增 1 ⇒ k=1/2 ⇒ f(x)=x/2+b。
对勾/绝对值（H11）答案速查
- Q2 (−∞,−5)；Q3 (−∞,1)∪(2,+∞)；Q4 (−∞,0)∪(0,+∞)；Q6 [3/2,8/3]。
奇偶性（H12）
- 对称求和：21 个数关于中心对称，配对和 2，总和 21。
- 偶函数 ⇒ 奇次项系数 0；f(2) 由 f(−2) 得。
- Q5 区间 (−3,1) 必须写区间，不写不等式。
二、小测讲评（T8–T12）
函数三要素
- 定义域 + 值域 + 对应法则；值域被包含于 B 即可。
T12 末题（综合，必考难度）
- 偶函数 + [1,2] 单调增，比较 f(m²+1) 与 f((m−1)²+1)。
- 卡范围：m²+1≤2 ⇒ m∈[−1,1]；(m−1)²+1≤2 ⇒ m∈[0,2]；增 ⇒ m²>(m−1)² ⇒ m>1/2。
- 结论 m ∈ (1/2, 1]。
三、函数解析式求法（93 页）
第1题：方程组法 + 奇偶拆分
- f 偶 g 奇，f−g=x+1 ⇒ f(x)=1，g(x)=−x。
第2题：偶函数与不等式
- f(t)<f(1/3) ⇒ |t|<1/3；t=2x−1 ⇒ x∈(1/3,2/3)。
第3题：奇函数+常数
- f=g+1（g 奇且增），f(x+a)>f(−x) ⇒ g(x+a)>g(−x) ⇒ a>−2x。
第4题：绝对值比较
- f(1/2)=0 且偶，f(x−2)>0 ⇒ |x−2|>1/2 ⇒ x∈(−∞,3/2)∪(5/2,+∞)。
四、奇偶 + 单调性结合
- 函数值比较 ⇒ 单调区间内自变量比较。
- 看图说话解 f(x)/(2x−1)≤0（异号区间）。
五、对勾函数（95–96 页）
最值（a,b>0）
- f(x)=ax+b/x ≥ 2√(ab)；等号 x=√(b/a)；最小值 2√(ab)。
- 单调：(0,√(b/a)] 减，[√(b/a),+∞) 增。
异号 / 飘带
- a 正 b 负（x−1/x）：增函数减减函数=增函数，称"飘带函数"。
102 页速查
- Q2：定义域 (−∞,0)∪(0,+∞)，值域 (−∞,−4]∪[4,+∞)，选 ABD。
六、图像变换（速查表）
| 变换 | 公式 | 说明 |
|---|---|---|
| 左移 | f(x+a) | 左加右减（对 x） |
| 上移 | f(x)+a | 上加下减（对 y） |
| 横缩 | f(5x) | 压缩为 1/5 |
| y 轴对称 | f(−x) | |
| x 轴对称 | −f(x) | |
| 原点对称 | −f(−x) | |
| 右翻左 | f(|x|) | 保留右侧翻到左 |
| 下翻上 | |f(x)| | 下方翻到上方 |
- 点思想：f(1)=1，看单点运动即懂全体。
七、对数初步
- log_a N = "a 的几次方 = N"；ln = log_e，e≈2.71828。
- 底数 a ≠ 1（1 的任何次方 = 1，无法反向表示）。
八、期中试卷 & 作业
- 题量 19；含参二次讨论可达 5 种；单调证明只能定义法。
- 均值不等式必写"当且仅当…等号成立"。
- 作业：Homework 10。
必考提醒
- 取值范围集合/区间作答（扣分词）。
- T12 末题型（奇偶+单调+卡范围）属综合必考。
- 对勾函数最值（均值不等式）高频。
- 图像变换"左加右减上加下减"操作对象易错。