第十三讲 函数专题（作业/小测讲评 · 函数解析式 · 对勾函数 · 图像变换 · 对数初步）

来源：20260707153708-转写_26暑0期-高一数学S4班（李）15_40-17_40-逐字稿文本-1.txt 课时：2026 暑 0 期高一数学 S4 班，7/7 第 13 讲（15:40–17:40） 说明：已剔除课前/课间闲聊（点名、过年冷知识、装修闲谈、崴脚等）、重复与破碎句、ASR 乱码；修正口语口误；按内容逻辑重排分段。延续前序硬规矩：凡问取值范围，一律用集合/区间形式作答。

一、作业讲评：函数基础（Homework 8–12）

1. 函数的定义（H8）

• 第 3 题坑点：数集到数集的对应才是函数。"三角形"不是数字的集合，故不能构成函数。踩过一次即可。
• 第 4 题（值域）：若 x ∈ [−2, 2]，则 x² ∈ [0, 4]，于是 x² + 1 ∈ [1, 5]。值域用区间写为 [1, 5]，不要混写 "1 ≤ y ≤ 5" 这种纯不等式。

2. 定义域与值域（H9）

• 第 1 题：分式型函数，渐近线 x = 1/3、y = −1，过定点 (0, 1)；画图读值域（按区间作答）。

  注意：ASR 口播值域为 [1, +∞)，但该函数两段分支图像与渐近线 y = −1 存在张力，具体上、下界以课堂板书图像为准核对。

• 第 5 题：自变量增加 2，函数值增加 1 ⇒ 斜率 k = 1/2，故解析式只要形如 f(x) = x/2 + b（b 为任意常数）皆可，例如 x/2、x/2+1 都行。

3. 对勾函数与绝对值（H11）

答案速查（均用区间/集合形式）：

• Q2：(−∞, −5)
• Q3：(−∞, 1) ∪ (2, +∞)
• Q4：(−∞, 0) ∪ (0, +∞)
• Q6：[3/2, 8/3]
• Q5、Q7：对勾函数（性质尚未展开，后续讲）
• Q3 涉及 |x − 2|：2 左侧图像翻转，增区间据图读出即可。

4. 奇偶性与对称性（H12）

• Q1：选 B。
• Q2（对称求和）：21 个数关于中心对称，两两配对和为 2，共 10 对加中间 1 个（中心值 1），总和 = 10×2 + 1 = 21。
• Q3：f(2) = 4。用偶函数性质：先求 f(−2) = −4，则 f(2) = 4。
• Q4：a = 1/3，b = 0。偶函数要求含 x 的奇次项系数为 0，故 b = 0；且定义域须关于原点对称。
• Q5：f(2) 所在区间为 (−3, 1)（开区间）。再次强调：必须写成区间 (−3, 1)，不能写 "−3 < a < 1"。
• Q6：−2（送分题）；Q7：选 C；Q8：−2，选 C。

二、小测讲评（Test 8–12）

1. 函数三要素判断（T8 / T9）

• T8 第 3、5 题跳过（与已讲题雷同）。
• T9 第 5 题：令 x = 0，得 f(−y) = 1 − y，即 f(y) = y + 1（把 "−y" 换成 "y" 即可）。本质是代入特殊值化简。
• T8 第 1 题（函数判定）：要有定义域、值域、对应法则三要素。即便规则是 "x 为奇数取 −1、偶数取 1"，只要把所有整数去向讲清、且值域被包含在目标集合 B 内，就是函数。（反例：2x−1 会跳出 {1,3,5} 之外，不行。）

2. 对称性综合（T12 末题，难度高）

已知 f(x) 为偶函数，且在 [1, 2] 上单调递增。解 f(m²+1) > f((m−1)²+1)。

• 由 m²+1 ≥ 1，且需落在单调区间内：m²+1 ≤ 2 ⇒ m² ≤ 1 ⇒ m ∈ [−1, 1]。
• 同理 (m−1)²+1 ≤ 2 ⇒ (m−1)² ≤ 1 ⇒ m ∈ [0, 2]。
• 在 [1, 2] 上 f 递增，故 f(m²+1) > f((m−1)²+1) ⇔ m²+1 > (m−1)²+1 ⇔ m² > (m−1)² ⇔ 2m > 1 ⇔ m > 1/2。
• 三者取交集：m ∈ (1/2, 1]。

方法：偶函数 + 单调性 + "括号内范围卡进单调区间" + 比较自变量。先把两个自变量都卡进同一个单调区间，讨论情形就大幅减少。

三、新课：函数解析式求法（教材 93 页）

1. 方程组法 + 奇偶性拆分（第 1 题）

已知 f(x) 为偶函数，g(x) 为奇函数，且 f(x) − g(x) = x + 1。

• 法一（方程组法）：把 x 换成 −x，得 f(−x) − g(−x) = −x + 1；由奇偶性 f(−x)=f(x)、g(−x)=−g(x)，化为 f(x) + g(x) = −x + 1。 与原式相加：2f(x) = 2 ⇒ f(x) = 1；相减：−2g(x) = 2x ⇒ g(x) = −x。
• 法二（奇偶拆分）：任何函数都可拆为"偶函数 + 奇函数"。右端 x + 1 的偶部为 1、奇部为 x，直接认领得 f(x)=1、g(x)=−x。
• 验算：x=1 时 f(1)−g(1)=1−(−1)=2=(1)+1，成立。

2. 偶函数与不等式（第 2 题）

f(x) 为偶函数，解 f(t) < f(1/3)。

• 偶函数 ⇒ |t| < 1/3 ⇒ t ∈ (−1/3, 1/3)。
• 若 t = 2x − 1，则 |2x − 1| < 1/3 ⇒ −1/3 < 2x − 1 < 1/3 ⇒ x ∈ (1/3, 2/3)。

3. 奇函数 + 常数（第 3 题）

设 f(x) = g(x) + 1，其中 g(x) 为奇函数且为增函数。解形如 f(x+a) > f(−x) 的不等式：

• 代入：g(x+a)+1 > −g(x)+1 ⇒ g(x+a) > −g(x) = g(−x)。
• g 为增函数 ⇒ x + a > −x ⇒ a > −2x。
• 结合 x 的取值范围，最终参数范围写成区间形式（老师口播结论约为 (0, 4)，具体数值与 x 定义域请对照板书核对）。

4. 绝对值与比较（第 4 题）

已知 f(1/2) = 0 且 f 为偶函数，解 f(x−2) > 0 = f(1/2)。

• 偶函数 ⇒ |x − 2| > 1/2 ⇒ x − 2 > 1/2 或 x − 2 < −1/2 ⇒ x ∈ (−∞, 3/2) ∪ (5/2, +∞)。

四、奇偶性与单调性结合（作业/小测综合）

• 本质：把不等式两边的函数值比较，转化为自变量在单调区间内的大小比较。
• 例：奇函数 f(1)=f(3)=0，画简图（0~2 递减、2 之后递增），再叠一条如 y = 2x − 1 的直线；解 f(x)/(2x−1) ≤ 0 即"两图像异号"，直接看图说话找 x 区间。
• 第八题（奇偶+单调）：如 x + 2x 在 [0, +∞) 单增，则整体在 R 上单增，化为 3 − a² > 2a 求解即可。

五、对勾函数（教材 95–96 页）

1. 最值与单调性（a, b 同正）

对 f(x) = ax + b/x（a, b > 0）：

• 由均值不等式：ax + b/x ≥ 2√(ab)，等号当且仅当 ax = b/x，即 x = √(b/a)。
• 故最小值点为 x = √(b/a)，最小值为 2√(ab)。
• 单调性：在 (0, √(b/a)] 上递减，在 [√(b/a), +∞) 上递增（左右两段各一段）。

2. a, b 异号与"飘带函数"

• a, b 同负：整体加负号，按同正理解即可。
• a 正 b 负（如 x − 1/x）：增函数减减函数 = 增函数，整体单调递增，俗称**"飘带函数"**。

3. 经典应用（教材 102 页）

• Q1：等号成立条件 x = √2 时取到 2√2；注意根号已在外，区间/最值据题读取。
• Q2：定义域 (−∞, 0) ∪ (0, +∞)，值域 (−∞, −4] ∪ [4, +∞)；选 A、B、D。
• Q3（综合题）：令 t = 2x − 1，化为 t + 4/t 型讨论最值；本讲只讲第一问思路，余下留待下节课。

六、函数图像变换（平移 · 伸缩 · 对称 · 翻折）

1. 平移：左加右减，上加下减

• 关键在操作对象不同：y = f(x+a) 是对"括号内 x"操作（左加右减）；y = f(x)+a 是对"整体 y"操作（上加下减）。两句话不矛盾。

2. 伸缩

• f(5x) 是把图像沿 x 轴压缩为原来的 1/5；f(x/2) 是沿 x 轴伸长为 2 倍。
• "点思想"：任何函数都由点构成。取最简单的 f(1)=1（单点），看这个点怎么动，就懂所有点怎么动——这是理解一切变换的钥匙。

3. 对称与翻折

• 关于 y 轴：f(−x)；关于 x 轴：−f(x)；关于原点：−f(−x)。
• 翻折：f(|x|) 是把右侧翻折到左侧（保留右侧）；|f(x)| 是把下方翻折到上方。

七、对数初步（log / ln / e）

• 定义：log_a N = "a 的多少次方等于 N"。例：2³ = 8 ⇔ log₂8 = 3；log₂(1/2) = −1。
• 自然对数 ln：以 e 为底，e ≈ 2.71828… 叫自然对数的底数；ln 即 log_e 的简写。
• 注意：底数 a ≠ 1。因为 1 的任何次方都等于 1，无法表示"1 的多少次方等于 5"这类问题，故底数不能为 1。
• log₂3 这类是无理数，超出初中整数次幂认知，属于一种新运算规则。

八、期中试卷速览（长郡 · 雅礼）与作业

• 题量 19（非 22）。难度接近名校期中：集合、对勾函数、指数/对数、新定义、奇偶单调性、均值不等式、幂函数均有涉及。
• 大题提醒：
  • 含参二次不等式讨论（可能 5 种情况，不只是 3 种）。
  • 单调性定义证明大题只能写定义法，永远不能只画图。
  • 用均值不等式时务必写 "当且仅当……时等号成立"，漏写易扣分。
• 本讲作业：完成 Homework 10（第 10 讲作业）。

本讲修正 / 注意点

1. 取值范围一律用集合/区间形式作答（延续前序规矩，否则扣分）：如 H12 Q5 必须写 (−3, 1)，不可写 "−3 < a < 1"；H9 Q4 值域写 [1, 5] 等。
2. 93 页第 1 题：转写在"代入 −x"步骤一度夹入 "x³ + x² + 1" 的杂音，按开头明确的 "f(x) − g(x) = x + 1" 与 x=1 验算（f(1)=1）处理，解得 f(x)=1，g(x)=−x。
3. 93 页第 4 题：解 |x−2| > 1/2 得 x ∈ (−∞, 3/2) ∪ (5/2, +∞)；转写 "−3/2 到 3/2" 为 ASR 误读，已纠正为上述开区间。
4. 93 页第 3 题：口播区间结论约 "(0, 4)"，但其推导 a > −2x 还依赖 x 定义域，具体数值建议对照板书核对。
5. H9 第 1 题：口播值域 [1, +∞) 与渐近线 y = −1 存在张力（两段分支），上、下界以课堂板书图像为准。
6. Test12 末题：转写中 "M 等于二" 等为中心对称点个数讨论的口语杂音，已按"偶函数 + 单调性 + 括号内范围卡 [1,2] + 比较自变量"还原，得 m ∈ (1/2, 1]。
7. 老师口述 "0 的 0 次方无意义" 为正确数学事实，保留。
8. 对勾函数最值点 x = √(b/a)、最值 2√(ab)；转写 "二倍根号 T" 等口播为 2√(ab) 的误读，已还原符号。