本课约120分钟，时间为2026年7月29日。课堂围绕函数比较、隐零点、指数对数换元和含参方程根的个数展开。
逐字稿中个别原函数识别不完整，本总结保留可确认的推理结构和典型公式。
1. 本课内容总览
本节课集中训练了六种导数题动作：
- 规范书写单调性；
- 作差函数与极小值证明；
- 用隐零点计算无法显式求出的极值；
- 用切线形成“夹逼链”；
- 令 (t=\ln x) 把对数函数变成指数函数；
- 通过函数图像判断含参方程的根数。
2. 单调性是必须拿稳的过程分
课堂强调，单调性问题即使结论明显，也必须写完整：
- 函数定义域；
- 导函数；
- 导函数的零点；
- 导数符号表；
- 单调递增、递减区间；
- 极值或最值。
不能只写“显然单调递增”。导数大题中的基础问往往是后续综合问的工具，也是一组稳定过程分。
3. 不能直接比较时，先变形再作差
若要证明
$ f(x)\le g(x),
$
最直接的想法是构造
$ H(x)=g(x)-f(x).
$
但课堂提醒：不要看到两个式子就立即原样相减。应先让 (ln x)、(e^x) 或分式处在容易求导的位置，再构造差函数。
理想结构是：
$ H'(x)=0
$
虽然不能显式解出，但能证明有唯一根 (x_0)，且
$ H'(x)<0\quad(x<x_0), \qquad H'(x)>0\quad(x>x_0).
$
于是 (H) 在 (x_0) 处取得极小值。
4. 隐零点：根求不出也可以使用
若方程
$ H'(x)=0
$
的根无法写成初等形式，可记为
$ x=x_0.
$
再把导数为零的条件变形成一个可代入关系。例如课堂出现了
$ e^{x_0-2}=\frac1{x_0},
$
等价于
$ x_0-2=-\ln x_0.
$
计算极值 (H(x_0)) 时，不需要知道 (x_0) 的具体数值，只需用上面关系消去指数项或对数项。
课堂例题中，代入后各项相消，极小值直接化为常数。
隐零点标准流程
- 证明 (H') 有唯一零点 (x_0)；
- 写出 (H'(x_0)=0) 导出的等式；
- 用该等式化简 (H(x_0))；
- 判断极小值符号；
- 得到原不等式。
5. 如何证明隐零点唯一
常见做法是再构造一个函数 (P(x))，使
$ H'(x)
$
的符号由 (P(x)) 决定。
然后：
- 证明 (P) 严格单调；
- 找到两个点 (a,b)，满足
$ P(a)P(b)<0;
$
- 由零点存在定理和单调性，得出区间内有且仅有一个零点。
“存在”与“唯一”是两件事：异号保证存在，严格单调保证至多一个。
6. 切线夹逼链
课堂展示了一类非常高效的证明：两个复杂函数都与简单函数在同一点相切。
指数函数的基本切线不等式为
$ e^u\ge 1+u.
$
平移后可得到其他形式。例如对 (e^{t-1})，在 (t=1) 处与 (y=t) 相切：
$ e^{t-1}\ge t.
$
又由
$ \ln t\le t-1,
$
得到
$ t\ge 1+\ln t.
$
于是可以串联：
$ e^{t-1}\ge t\ge 1+\ln t.
$
这种“中间搭桥”常比直接作差求导更短。
7. 分母含对数：需要二次构造
课堂处理了对数函数出现在分母中的单调性问题。直接求导后得到类似
$ f'(x)
\frac{2\ln x+\frac1{x^2}-1} {x(\ln x)^2}.
$
分母在定义域内为正，因此构造
$ g(x)=2\ln x+\frac1{x^2}-1.
$
再求导：
$ g'(x)=\frac2x-\frac2{x^3}.
$
此时符号结构明显，先判断 (g) 的最小值，再返回判断 (f') 的符号。
这是典型的“导数套导数”：不是为了增加计算，而是把复杂符号问题降为低次因式的符号问题。
8. 对数不顺眼时，令 (t=\ln x)
当式子含
$ \frac{\ln x}{x^2},
$
令
$ t=\ln x, \qquad x=e^t,
$
则
$ \frac{\ln x}{x^2}
\frac{t}{e^{2t}}.
$
原来“对数除以幂函数”的结构，变成了熟悉的“多项式乘指数衰减”结构。
对
$ \phi(t)=te^{-2t},
$
求导：
$ \phi'(t)=e^{-2t}(1-2t),
$
极值点、最值和图像都很容易得到。
9. 含参方程根的个数
若方程可化为
$ \frac{\ln x}{x^2}=k,
$
并且 (x) 有给定范围，令 (t=\ln x)，可转化为
$ te^{-2t}=k,
$
其中 (t) 的范围也随之确定。
接下来只需画出
$ y=te^{-2t}
$
在指定区间上的图像，研究水平线
$ y=k
$
与图像的交点个数。
根数题标准流程
- 化成 (phi(t)=k)；
- 写清 (t) 的取值区间；
- 求 (phi')；
- 得到单调区间和端点值；
- 画草图；
- 按 (k) 的位置分类根数；
- 检查端点是否计入。
10. 参数导数因式分解
课堂最后一题的导函数可因式分解，并出现两个与参数有关的临界点。常见情形为：
- (a\le0)：导数符号结构较简单；
- (a=1)：两个临界点重合；
- (0<a<1) 与 (a>1)：两个临界点次序交换。
函数通常呈现
$ \text{增}\rightarrow\text{减}\rightarrow\text{增}
$
的形态。
仅知道单调性仍不一定能确定零点个数，还要在关键区间中找出函数值异号的两个点，这一问题留到下一课继续。
11. 本课易错点
- 单调性不写定义域和符号表；
- 原式不变形就作差，导致导数过于复杂；
- 隐零点求不出具体值就停止；
- 写了 (x_0) 却不用 (H'(x_0)=0) 化简；
- 只证明零点存在，没有证明唯一；
- 切线夹逼中找不到合适的中间函数；
- 分母含 (ln x) 时忘记排除 (x=1)；
- 二次构造后没有返回原函数；
- 换元 (t=\ln x) 后漏写 (t) 的范围；
- 根数分类漏掉水平线过极值点的相切情况；
- 两个参数临界点次序未按 (a) 分类；
- 只凭“函数最终趋于无穷”判断一定有根，没有找异号点。
12. 建议形成的四张模型卡
模型卡1：隐零点
$ H'(x_0)=0 \rightarrow \text{得到代换关系} \rightarrow \text{计算 }H(x_0).
$
模型卡2：切线夹逼
$ e^{t-1}\ge t\ge1+\ln t.
$
模型卡3：对数指数化
$ t=\ln x, \qquad \frac{\ln x}{x^2}=te^{-2t}.
$
模型卡4：根数问题
$ \phi(t)=k
$
转化为函数图像与水平线的交点个数。
13. 本课一句话总结
本课训练的是“根不必求出来”：用隐零点条件计算极值，用指数化换元简化对数，再通过单调区间和水平线位置完整判断含参方程的根数。