本课约125分钟，时间为2026年7月30日。课堂继续处理极值、参数范围、零点存在性和多变量消元，并引入用二阶导数控制函数形态的思路。
个别例题题干缺失，以下以课堂确认的方法为主。

1. 本课内容总览

本节课的核心方法包括：

用同构换元把复杂函数化为 (t-a\ln t)；
用极值点条件表示参数；
在 (0<x<1) 上使用更精细的指数、对数比较；
用切线直接处理零点和恒正；
证明导函数零点存在且唯一；
两个极值点之间用韦达式关系消元；
用二阶导数和凹凸性控制带三角函数的振荡项；
判断是否值得分离参数。

2. 同构换元：把 (xe^x) 看成整体

课堂第一题中，通过指数、对数运算把原式整理为

$ t-a\ln t,

其中可取

$ t=xe^x.

在 (x>0) 时，(t=xe^x) 严格递增，因此可以先研究

$ \phi(t)=t-a\ln t.

求导：

$ \phi'(t)=1-\frac at.

要存在极小值点，必须有

$ a>0,

且极小值在

$ t=a

处取得。

再由

$ t=xe^x

可把参数 (a) 表示为极值点 (x_0) 的函数。

3. 极值点条件用于消参数

含参函数在 (x_0) 处取得极值时，一定满足

$ f'(x_0)=0.

这条式子往往比原函数更适合解出参数：

$ a=\Psi(x_0).

将其代回

$ f(x_0)

后，原来含 (a) 的极值就变成只含 (x_0) 的表达式。

课堂例题代回后出现

$ 1-x_0-\ln x_0.

该函数严格递减，且在 (x_0=1) 时为零，因此极小值为正可推出

$ 0<x_0<1.

4. 在 (0<x<1) 上，符号与距离都要注意

基本切线不等式

$ \ln x\le x-1

对所有 (x>0) 成立。但当 (0<x<1) 时，两边都为负，比较绝对值时容易判断反向。

课堂把复杂商拆成两个易比较因子，例如：

$ \frac{e^{x_0}}{1+x_0}

和

$ \frac{1-x_0-\ln x_0}{1-x_0}.

分别利用

$ e^{x_0}>1+x_0

及对数切线关系判断每个因子的下界，再把结果相乘。

拆分的原则是：让每一块都对应一个熟悉的基本不等式。

5. 公切线与零点个数

若两个函数在同一点有共同切线，作差函数通常在那里取得零点或极值。

例如

$ e^{t-1}\ge t,

以及

$ t\ge1+\ln t

在 (t=1) 处等号成立。由此可以直接判断差函数非负，并确定唯一零点。

若参数增大只会给差函数增加一个恒正项，则边界参数成立后，更大的参数也成立。这样的单调依赖可以省去重复求导。

6. 导函数零点：存在、唯一与位置

课堂处理了含三角函数的导函数，例如具有

$ x\sin x+m\cos x

的结构。

证明函数只有一个极小值，需要完成：

找出导函数在区间两端或两个特殊点的异号；
证明导函数在目标区间内严格单调，或至多变号一次；
由零点存在定理得到至少一个零点；
由单调性得到至多一个零点；
判断导数从负变正，确认是极小值。

参数 (m) 的符号往往由导数在特殊点处的符号直接给出必要条件。

7. 两个极值点：像韦达一样使用根的关系

若导函数化为关于 (x) 的二次式，并有两个极值点 (x_1,x_2)，则不要急于求根。

应记录：

$ x_1+x_2=b, \qquad x_1x_2=c.

这与圆锥曲线中的韦达定理完全同构。

当目标式含

$ e^{x_1},quad e^{x_2}

时，它们的乘积可合并：

$ e^{x_1}e^{x_2}=e^{x_1+x_2}=e^b.

再结合基本不等式，把含两个变量的式子压成只含 (b) 的式子。

8. 多变量问题的核心是消元

课堂将含 (x_1,x_2,b) 的目标式先用基本不等式处理：

$ U+V\ge2\sqrt{UV}.

根号内的指数乘积通过

$ x_1+x_2=b

合并，最后令

$ t=\frac b2

把问题化成单变量函数，例如比较

$ e^t-e^{-t}

与某个多项式。

这条链条是：

$ \text{极值点关系} \rightarrow \text{均值不等式} \rightarrow \text{指数合并} \rightarrow \text{单变量换元}.

9. 二阶导数与凹凸控制

当函数含

$ e^x+\sin^2x

时，三角项会振荡，但指数项增长迅速。只看一阶导数可能仍担心“增速忽快忽慢”。

此时可继续求二阶导数：

$ \frac{d}{dx}(e^x+\sin^2x)

e^x+\sin2x,

$ \frac{d^2}{dx^2}(e^x+\sin^2x)

e^x+2\cos2x.

在给定区间上若能证明

$ e^x+2\cos2x>0,

则一阶导数严格递增，函数呈下凸形态。这样只需检查端点处的一阶导数或函数值，就能控制整个区间。

10. 求自然数最大值：先猜，再证边界

若要求最大的自然数 (a)，先代入简单点判断：

某个较小整数显然成立；
下一个整数在端点已经失败；

从而猜出候选答案。

严格证明时，不一定必须把参数全部分离成一个复杂函数。课堂例题中，直接研究

$ e^x+\sin^2x-ax

并用二阶导数证明其一阶导数单调，反而比分离参数后研究

$ \frac{e^x+\sin^2x}{x}

更清楚。

方法选择

分离后函数简单：分离参数；
分离后出现复杂商：保留参数，直接作差；
参数取整数：先用端点猜候选，再证边界整数。

11. 本课易错点

换元只换字母，没有降低结构复杂度；
(t=xe^x) 后忘记说明其单调性和取值范围；
已知极值点却不使用 (f'(x_0)=0) 消参数；
在 (0<x<1) 上比较负数时方向错误；
把复杂商整体硬证，不拆成基本不等式；
只证明导函数有零点，没有证明唯一；
将“导数为零”直接当作“极小值”；
两个极值点直接求根，忽略根和、根积；
指数乘积没有合并为指数和；
多变量不先消元就求导；
含振荡项只看函数单调，不看导函数是否单调；
二阶导数恒正后没有返回解释一阶导数；
求最大自然数只试值，没有严格证明候选值成立；
分离参数后函数更复杂，仍坚持该路线。

12. 建议形成的四张模型卡

模型卡1：极值点消参数

$ f'(x_0)=0 \rightarrow a=\Psi(x_0) \rightarrow f(x_0)\text{ 只含 }x_0.

模型卡2：双极值点消元