本课约120分钟，时间为2026年7月28日。前半段对圆锥曲线专题进行抽样复盘，后半段正式进入导数专题。
部分例题的完整题干未进入逐字稿，以下重点还原课堂能够确认的方法结构，不补造缺失参数。

1. 本课内容总览

本节课完成了从圆锥曲线到导数的切换，核心内容包括：

1. 用20道题快速检验圆锥曲线模型覆盖率；
2. 导数题的第一判断：做差、同构、换元还是分离参数；
3. 指数函数与对数函数之间的同构；
4. 对数项“单独拎出”的变形技巧；
5. 含参导函数的分类讨论；
6. 指数、对数的切线放缩；
7. 定主元证明二元不等式。

课堂给出的总体认识是：

圆锥曲线的工具常能从图形中看见；导数的难点则是求导之后，如何选择下一步结构。

2. 圆锥曲线专题收尾：先识别模型

课堂随机浏览约20道圆锥曲线题，要求不完整计算，只判断它们属于哪一种已学模型。

主要识别结果包括：

• 三点共线：比较两条直线斜率；
• 斜率和、斜率积：齐次化或“超级韦达”；
• 重心、外心轨迹：用坐标关系消去动点；
• 切点弦与切线交点：极点极线；
• 斜率互为相反数：转化为反射或角度关系；
• 四点共圆：圆幂式、坐标差乘积与韦达；
• 最值：定值结构结合基本不等式。

这次抽样的意义不是证明所有题都会做，而是建立考场判断：

$\text{读题} \rightarrow \text{识别模型} \rightarrow \text{选择工具} \rightarrow \text{执行计算}.$

3. 导数题的第一层决策

面对两个函数或一个含参不等式，课堂建议先依次判断：

1. 能否直接用已知切线放缩；
2. 指数、对数之间能否同构；
3. 能否通过换元降低式子复杂度；
4. 是否需要作差构造新函数；
5. 参数是否应全部分离；
6. 求导后是否需要分类讨论。

并不是每道题都应机械地写成

$F(x)=f(x)-g(x)$

再连续求导。若能先看出同构或切线，往往可以少做一到两层导数。

4. 指数—对数同构

课堂重点比较了两个函数结构：

$f(x)=e^x-x,$

以及

$g(x)=x-\ln x.$

把 (x=e^t) 或 (t=\ln x) 代入，可得

$g(e^t)=e^t-t=f(t).$

因此它们本质上是同一个函数在不同自变量下的表达。

若题目给出一串关系，例如

$x_1=\ln x_2, \qquad x_2=\ln x_3,$

则应把各项统一写成 (e^t-t) 或 (t-\ln t) 的形式。这样可以把看似无关的函数值转化为相邻变量之差，并进一步发现等差、定值或大小关系。

同构的判断信号

• 出现 (e^x) 与 (x) 的差；
• 出现 (x) 与 (ln x) 的差；
• 条件中有 (x_i=\ln x_{i+1})；
• 指数的乘除能变为指数中的加减；
• 对数的加减能合并成乘除。

5. 指数做乘除，对数做加减

同构不仅是换元，还依赖运算规则：

$x e^x=e^{x+\ln x},$

$\frac{e^x}{x}=e^{x-\ln x},$

$\ln u-\ln v=\ln\frac uv.$

看到 (xe^x)、(e^x/x)、(ln u-ln v) 时，不要只把它们看作乘法或减法，要尝试把它们塞进同一个指数或同一个对数中。

6. 对数项要尽量“单独拎出”

含参不等式若直接分离参数，可能得到一个难以研究的商，例如同时含有

$\ln x,quad x^2-1$

的复杂表达。

课堂建议：先把式子整理成

$F(x)=A(x)\ln x+B_k(x),$

并尽量使 (A(x)) 的符号容易判断，再把剩余部分记为辅助函数

$h_k(x)=B_k(x).$

这样求导时，参数通常只会进入一个二次函数或低次多项式，分类讨论会清楚得多。

原因

如果 (ln x) 与复杂函数相乘，求导会产生

$A'(x)\ln x+\frac{A(x)}x,$

对数项仍然存在。先整理结构，可以避免每次求导都继续携带一坨难判断的对数项。

7. 含参导函数的分类讨论

课堂例题中，辅助函数求导后出现类似

$ h_k'(x)

\frac{(k-1)(x^2+1)+2x}{x^2}

$

的结构。分母在定义域内为正，重点只看分子。

可以将分子改写为

$ k(x^2+1)-(x-1)^2.

$

这样参数分类变得直观：

• (k\le0) 时，两部分都不为正，符号容易确定；
• (0<k<1) 时，需要研究二次函数的顶点和变号区间；
• (k\ge1) 时，整体趋势再次发生变化。

标准书写

1. 先写定义域；
2. 明确分母符号；
3. 只研究分子；
4. 按参数的临界值分段；
5. 每种情形写导数符号和单调区间；
6. 回到原不等式判断哪些参数可行。

8. 洛必达法则的课堂定位

课堂提到，当分离参数后出现 (0/0) 型极限时，可以想到洛必达法则。但在高考规范解答中，通常仍优先使用：

• 等价变形；
• 单调性；
• 切线放缩；
• 已知基本不等式。

所以洛必达更适合作为观察边界值、猜参数临界值的辅助工具，而不是替代完整证明。

9. 切线放缩：指数与对数的常用界

凸函数图像位于任意切线之上，凹函数图像位于任意切线之下。

对指数函数，在 (x=1) 处的切线为

$ y=ex,

$

所以

$ e^x\ge ex.

$

对对数函数，从原点作切线，切点为 (x=e)，切线为

$ y=\frac xe,

$

所以

$ \ln x\le\frac xe.

$

将两式串联：

$ e^2\ln x\le ex\le e^x.

$

由于两边的等号条件不能同时成立，相关题目中还可得到严格不等式。

切线放缩的关键

不只要记结论，还要检查：

• 函数是凸还是凹；
• 切点在哪里；
• 放缩方向是否一致；
• 多次放缩的等号能否同时成立。

10. 作差与换元

若同构失败，课堂回到最稳定的方法：

$ H(x)=f(x)-g(x).

$

但作差前仍要先变形，使 (H(x)) 尽可能容易求导。例如遇到 (1-x) 与 (ln(1-x)) 时，可以令

$ t=1-x,

$

把目标化为只含

$ t,quad t\ln t

$

的函数，再用一次导数完成证明。

换元的目标不是换字母，而是让式子出现熟悉结构。

11. 定主元：证明二元不等式

课堂最后处理含 (s,t) 的二元不等式。方法是把一个变量视为主变量，另一个暂时视为常数。

例如构造

$ M(s)=F(s+t)-F(s)-F(t).

$

固定 (t)，对 (s) 求导：

$ M'(s)=F'(s+t)-F'(s).

$

若前一问已经证明 (F') 单调递增，且 (t>0)，则

$ F'(s+t)>F'(s),

$

所以

$ M'(s)>0.

$

再比较边界值

$ M(0)=0,

$

即可得到

$ M(s)>0.

$

这体现了导数综合题的环环相扣：前一问的单调性，往往正是后一问的工具。

12. 本课易错点

1. 圆锥曲线复盘只看答案，不做模型识别；
2. 导数题一律直接作差，不先观察同构；
3. 把 (xe^x) 忽略为普通乘积，看不出 (e^{x+\ln x})；
4. 对数项没有整理干净就求导；
5. 分离参数后得到复杂商，仍然硬求导；
6. 分类讨论遗漏参数临界值；
7. 只写导数正负，不写单调区间；
8. 使用洛必达猜出边界后，没有补严格证明；
9. 切线放缩方向写反；
10. 两个不等式相乘时忽略量的正负；
11. 串联放缩时不检查等号条件；
12. 二元函数同时处理两个变量，导致求导混乱；
13. 没有利用前一问已得的单调性。

13. 建议形成的四张模型卡

模型卡1：指数对数同构

$ g(e^t)=e^t-t=f(t).

$

模型卡2：参数分类

$ h_k'(x)

\frac{\text{含 }k\text{ 的低次多项式}}{\text{恒正分母}}.

$

只研究分子并找参数临界值。

模型卡3：切线放缩

$ e^x\ge ex, \qquad \ln x\le\frac xe.

$

模型卡4：定主元

$ M(s)=F(s+t)-F(s)-F(t),

$

固定 (t)，只对 (s) 求导。

14. 本课一句话总结

本课真正开启了导数专题：先观察指数对数能否同构或切线放缩，再决定作差、换元和参数分类；求导只是开始，结构选择才是得分关键。