第8讲：抛物线

学习目标

• 能由焦点—准线定义推导并识别抛物线的四种标准方程。
• 能根据方程确定开口方向、焦点、准线、参数 p、焦半径和通径。
• 能用圆锥曲线统一定义比较椭圆、抛物线和双曲线的离心率及准线性质。

前置知识

需要熟悉直线与圆的方程、一元二次方程、韦达定理和基本向量运算。

核心概念

概念与定义

• 抛物线
  • 定义：到定点 $F$（焦点）与定直线 $l$（准线）距离相等的点的轨迹
  • 特征比 $e = 1$，即 $MF / d(M, l) = 1$
• 焦点 $F$、准线 $l$、参数 $p$
  • $p$ 的几何意义：焦点到准线的距离（$p > 0$）
  • 顶点在原点
• 通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长度 $2p$
• 焦半径：抛物线上一点到焦点的距离（= 该点到准线的距离）
• 圆锥曲线统一定义（第二定义）
  • 到定点 $F$ 的距离与到定直线 $l$ 的距离之比为定值 $e$
  • $e = 0$ → 圆；$0 < e < 1$ → 椭圆；$e = 1$ → 抛物线；$e > 1$ → 双曲线
• 左焦点 / 右焦点、左准线 / 右准线
  • 椭圆、双曲线各两条准线；抛物线仅一条准线
• 离心率谱系（连续）：圆 $(0)$ → 椭圆 $(0, 1)$ → 抛物线 $(1)$ → 双曲线 $(1, +∞)$

老师讲解

方法与解题路线

圆锥曲线题先定位焦点轴，再确定 a、b、c；联立后保留判别式与韦达定理的使用条件。

• 由定义推导抛物线标准方程（开口向右）
  • 设 $F(p/2, 0)$，准线 $x = −p/2$，由 $√[(x−p/2)² + y²] = |x + p/2|$ 平方得 $y² = 2px$
• 求焦点 / 准线
  • 先化为标准形式 $y² = 2px$ 或 $x² = 2py$，再读本讲参数
• 焦点弦 / 焦半径转化
  • 点到焦点距离 ⇄ 点到准线距离
• 轨迹题列法
  • 用「到定点距离比到定直线距离大常数」列等式再平方化简
• 统一定义推导椭圆 / 双曲线标准方程
  • 取右焦点 $F₂(c, 0)$ 与右准线 $x = a²/c$，比值为 $e = c/a$，平方化简得标准方程
• 抛物线与直线交点个数讨论
  • 联立求判别式 $Δ$；注意 $k = 0$（直线平行对称轴）时单独为一个交点
• 直线的不同设法
  • 除 $y = kx + b$ 外，可设 $x = my + n$（用 $y$ 表示 $x$），与 $y² = 2px$ 联立仅一个二次项，计算更简

数学公式

公式与适用条件

$\displaystyle y^2=2px,\qquad F\left(\frac p2,0\right),\qquad x=-\frac p2.$

• 四种标准方程及焦点、准线
  • $y² = 2px$：焦点 $(p/2, 0)$，准线 $x = −p/2$（开口右）
  • $y² = −2px$：焦点 $(−p/2, 0)$，准线 $x = p/2$（开口左）
  • $x² = 2py$：焦点 $(0, p/2)$，准线 $y = −p/2$（开口上）
  • $x² = −2py$：焦点 $(0, −p/2)$，准线 $y = p/2$（开口下）
• 通径长：$2p$
• 焦半径（$y² = 2px$）：$|MF| = x₀ + p/2$
• 共点等腰关系：$a₁ − a₂ = 2c$
• 离心率关系：$1/e₁ − 1/e₂ = 2$
• 小册第 4 题目标式：$1/e₁ + 4e₂ = 4e₂ + 1/e₂ + 2$，$e₂ ∈ (1, +∞)$
• 统一定义等式：$√[(x−c)² + y²] / |x − a²/c| = c/a$
• 离心率：$e = c/a$；右准线：$x = a²/c$
• 抛物线与直线联立判别式：$Δ = 4p(p − 2kb)$（$y² = 2px$ 与 $y = kx + b$）
• 椭圆参数关系：$a² = b² + c²$
• 双曲线参数关系：$c² = a² + b²$（即 $a² − c² = −b²$）

典型例题

课堂例题结论

• 小册第 4 题：$1/e₁ + 4e₂$ 的取值范围为 $(7, +∞)$
• 即学即练
  • $y² = −x$ → 焦点 $(−1/4, 0)$，准线 $x = 1/4$
  • $x² = 8y$ → 焦点 $(0, 2)$，准线 $y = −2$
  • $y² = ax$ → 焦点 $(a/4, 0)$，准线 $x = −a/4$
  • $y² = −(7/2)x$ → 焦点 $(−7/8, 0)$，准线 $x = 7/8$
• 已知焦点 $(4, 0)$ → 方程 $y² = 16x$
• 轨迹题：到 $(1/2, 0)$ 距离比到 $y$ 轴距离大 $1/2$ → $y² = 2x$（$x > 0$）
• 椭圆 $x²/25 + y²/16 = 1$：$c = 3$，$e = 3/5$，右准线 $x = 25/3$
• 直线 $y = kx + 1$ 与 $y² = 4x$
  • $k = 1$ 相切（1 个交点）
  • $k ∈ (0, 1) ∪ (−∞, 0)$ 两个交点
  • $k = 0$ 一个交点（平行对称轴）
  • $k > 1$ 无交点
• 椭圆 / 双曲线另一定义：到两定点连线斜率之积 $= ±b²/a²$

常见错误

易错边界

不要只套标准方程而忽略焦点所在坐标轴；轨迹题还要检查退化情形和应排除的端点。

方法总结

本讲速查表

学习时先明确对象、条件和范围，再从下表选择公式；做完后回到原题检查特殊情形与答案格式。

自我检查

完成后请确认

1. 我能由开口方向写出抛物线的四种标准方程之一。
2. 我能从方程确定焦点、准线、参数 p 和通径。
3. 我能把焦半径转化为点到准线的距离。
4. 我能用离心率 e 区分三类圆锥曲线。