知知数 · 高中数学
第 9 讲 · 第二章 圆锥曲线

第9讲：直线与圆锥曲线

综合直线设法、弦长、点差法以及圆锥曲线交点个数判断。

对应讲义第 47–70 页按课堂重点重排
本讲原始资料完整大纲完整讲稿

学习目标

  • 能针对定点、焦点弦和斜率不存在的情形选择合适的直线设法。
  • 能用联立、韦达定理、弦长公式和点差法处理圆锥曲线中的弦问题。
  • 能完整分类直线与圆锥曲线的交点情况，并检查渐近线和退化解。

前置知识

需要熟悉直线与圆的方程、一元二次方程、韦达定理和基本向量运算。

核心概念

概念与定义

  • 焦点弦：抛物线 y2=2pxy² = 2px 中过焦点 F(p/2,0)F(p/2, 0) 的弦 ABAB
  • 倒斜横截式：x=my+tx = my + t（过 x 轴定点 (t,0)(t,0)，m=1/km = 1/k 为斜率倒数，tt 为横截距）
  • 齐次化（齐二次化）：直线不过定点 (x0,y0)(x₀,y₀) 时设 M(x−x0)+N(y−y0)=1M(x-x₀) + N(y-y₀) = 1
  • 中点弦：弦 ABAB 中点纵坐标为 yTy_T 时的斜率关系
  • 双曲线与直线交点个数分类：相离 / 相切 / 平行渐近线（各 1 个）/ 交左支两点 / 交右支两点 / 两支各一点

老师讲解

方法与解题路线

圆锥曲线题先定位焦点轴，再确定 a、b、c；联立后保留判别式与韦达定理的使用条件。

  • 直线多种形式按需选取，圆锥曲线联立优先用「倒斜横截式」避免平方
    • 水平线优先（只有一个公共点时）
    • 相切用 x+3=m(y−2)x + 3 = m(y - 2) 类设法，代入后令 Δ=0Δ = 0
  • 焦点弦长两种求法
    • 定义法：∣AB∣=x1+x2+p|AB| = x₁ + x₂ + p，配韦达定理
    • 倾斜角法：∣AB∣=2p/sin⁡2α|AB| = 2p / \sin²α（小题直接秒）
  • 点差法求中点弦斜率
    • 两式相减 → kAB=2p/(y1+y2)=p/yTk_AB = 2p / (y₁ + y₂) = p / y_T
  • 双曲线与直线交点个数的韦达定理分类
    • 代入 y=kx+1y = kx + 1 得 (1−k2)x2−2kx−2=0(1 - k²)x² - 2kx - 2 = 0
    • 用 x1+x2x₁+x₂、x1x2x₁x₂ 的符号区分「右支两点 / 左支两点 / 两支各一」
    • 特殊：k=±1k = ±1（平行渐近线）恰一交点；Δ=0Δ = 0 为相切

数学公式

公式与适用条件

∣AB∣=x1+x2+p=2psin⁡2α.\displaystyle |AB|=x_1+x_2+p=\frac{2p}{\sin^2\alpha}.

  • 抛物线定义：∣AF∣=x1+p/2|AF| = x₁ + p/2，∣BF∣=x2+p/2|BF| = x₂ + p/2
  • 焦点弦长：∣AB∣=x1+x2+p|AB| = x₁ + x₂ + p
  • 倾斜角弦长：∣AB∣=2p/sin⁡2α|AB| = 2p / \sin²α
  • 焦半径倒数和：1/∣AF∣+1/∣BF∣=2/p1/|AF| + 1/|BF| = 2/p（定值）
  • 以 y 为变量的弦长：∣AB∣=√(1+1/k2)⋅∣y1−y2∣|AB| = √(1 + 1/k²) · |y₁ - y₂|
  • 点差法：kAB=2p/(y1+y2)=p/yTk_AB = 2p / (y₁ + y₂) = p / y_T
  • 双曲线交点分类条件：
    • 右支两点：x1+x2>0且x1x2>0x₁ + x₂ > 0 且 x₁x₂ > 0
    • 左支两点：x1+x2<0且x1x2>0x₁ + x₂ < 0 且 x₁x₂ > 0
    • 两支各一：x1x2<0x₁x₂ < 0
  • 直线形式总表：
    • 点斜式 y−y0=k(x−x0)y - y₀ = k(x - x₀)
    • 斜截式 y=kx+by = kx + b
    • 过 (t,0)(t,0)：x=my+tx = my + t 或 y=k(x−t)y = k(x - t)
    • 过 (0,b)(0,b)：y=kx+by = kx + b 或 x=m(y−b)x = m(y - b)
    • 不过 (x0,y0)(x₀,y₀)：M(x−x0)+N(y−y0)=1M(x-x₀) + N(y-y₀) = 1

典型例题

课堂例题结论

  • 即学即练四：焦点弦 ∣AB∣=5p/2|AB| = 5p/2 → 斜率 k=±2k = ±2（两种方法印证）
  • 例题二-1：答案 8
  • 例题二-2：已知 ∣MF∣=5|MF| = 5 得 xM=5−p/2x_M = 5 - p/2、yM2=10p−p2y_M² = 10p - p²，由 AM⊥MFAM ⊥ MF 解得 → 答案 A
  • 例题二-3：抛物线为 y2=4xy² = 4x（即 p=2p = 2）
  • 例题三-1：过 (−3,2)(-3,2) 与 y2=4xy² = 4x 只有一个公共点的直线共三条
    • y=2y = 2、x+y+1=0x + y + 1 = 0、x−3y+9=0x - 3y + 9 = 0
  • 例题三-2：答案 B、C
  • 变式一（三-1 后）：答案为对应第三条情形
  • 例题三-3：过 (1,0)(1,0) 斜率 −2-2，x=−½y+1x = -½y + 1，代入 y2=4xy² = 4x 得 ∣AB∣=5|AB| = 5
  • 变式一（倾斜角 π/4π/4）：∣AB∣=2p/sin⁡2(π/4)=4p|AB| = 2p / \sin²(π/4) = 4p；对 y2=4xy² = 4x 即 88
  • 点差法示例：y2=4xy² = 4x 时 kAB=2/yTk_AB = 2 / y_T；若 yT=1y_T = 1 则 k=2k = 2
  • 作业讲评（双曲线简单几何性质）：1→C，2→D，3→B，4→A，5→a=4，6→(-1,8)，7→C(3x−y−6=03x-y-6=0)，8→A(多选两正确)，9→B
  • 例题 10 第一问：双曲线 x2−y2=1x² - y² = 1 与直线交点三种版本（右支两点 / 左支两点 / 两支各一），均用韦达定理分类

常见错误

易错边界

不要只套标准方程而忽略焦点所在坐标轴；轨迹题还要检查退化情形和应排除的端点。

方法总结

本讲速查表

学习时先明确对象、条件和范围，再从下表选择公式；做完后回到原题检查特殊情形与答案格式。

项目 公式 / 结论
抛物线定义（焦半径） ∥AF∥=x1+p/2\|AF\| = x₁ + p/2
焦点弦长（定义） ∥AB∥=x1+x2+p\|AB\| = x₁ + x₂ + p
焦点弦长（倾斜角） ∥AB∥=2p/sin⁡2α\|AB\| = 2p / \sin²α
焦半径倒数和 1/∥AF∥+1/∥BF∥=2/p1/\|AF\| + 1/\|BF\| = 2/p
弦长（y 变量） ∥AB∥=√(1+1/k2)⋅∥y1−y2∥\|AB\| = √(1 + 1/k²) · \|y₁ - y₂\|
点差法斜率 kAB=p/yTk_AB = p / y_T（抛物线 y2=2pxy² = 2px）
倒斜横截式 x=my+tx = my + t（m=1/km = 1/k，tt 为横截距）
不过定点设法 M(x−x0)+N(y−y0)=1M(x-x₀) + N(y-y₀) = 1（齐次化）
双曲线交点·右支两点 x1+x2>0且x1x2>0x₁ + x₂ > 0 且 x₁x₂ > 0
双曲线交点·左支两点 x1+x2<0且x1x2>0x₁ + x₂ < 0 且 x₁x₂ > 0
双曲线交点·两支各一 x1x2<0x₁x₂ < 0
平行渐近线（恰一交点） k=±1k = ±1（对 x2−y2=1x² - y² = 1）
例题三-1 三线 y=2y = 2、x+y+1=0x + y + 1 = 0、x−3y+9=0x - 3y + 9 = 0
即学即练四斜率 k=±2k = ±2

自我检查

完成后请确认

  1. 我能根据定点和焦点弦选择 y=kx+b 或 x=my+t。
  2. 我能用韦达定理写出焦点弦的长度关系。
  3. 我能用点差法从弦中点反求斜率。
  4. 我能检查判别式之外的渐近线、退化和斜率不存在情形。