第9讲 大纲 · 直线与圆锥曲线的位置关系（直线方程的多种形式 · 弦长问题 · 交点个数）

【概念】

• 焦点弦：抛物线 y² = 2px 中过焦点 F(p/2, 0) 的弦 AB
• 倒斜横截式：x = my + t（过 x 轴定点 (t,0)，m = 1/k 为斜率倒数，t 为横截距）
• 齐次化（齐二次化）：直线不过定点 (x₀,y₀) 时设 M(x-x₀) + N(y-y₀) = 1
• 中点弦：弦 AB 中点纵坐标为 y_T 时的斜率关系
• 双曲线与直线交点个数分类：相离 / 相切 / 平行渐近线（各 1 个）/ 交左支两点 / 交右支两点 / 两支各一点

【方法】

• 直线多种形式按需选取，圆锥曲线联立优先用「倒斜横截式」避免平方
  • 水平线优先（只有一个公共点时）
  • 相切用 x + 3 = m(y - 2) 类设法，代入后令 Δ = 0
• 焦点弦长两种求法
  • 定义法：|AB| = x₁ + x₂ + p，配韦达定理
  • 倾斜角法：|AB| = 2p / sin²α（小题直接秒）
• 点差法求中点弦斜率
  • 两式相减 → k_AB = 2p / (y₁ + y₂) = p / y_T
• 双曲线与直线交点个数的韦达定理分类
  • 代入 y = kx + 1 得 (1 - k²)x² - 2kx - 2 = 0
  • 用 x₁+x₂、x₁x₂ 的符号区分「右支两点 / 左支两点 / 两支各一」
  • 特殊：k = ±1（平行渐近线）恰一交点；Δ = 0 为相切

【公式】

• 抛物线定义：|AF| = x₁ + p/2，|BF| = x₂ + p/2
• 焦点弦长：|AB| = x₁ + x₂ + p
• 倾斜角弦长：|AB| = 2p / sin²α
• 焦半径倒数和：1/|AF| + 1/|BF| = 2/p（定值）
• 以 y 为变量的弦长：|AB| = √(1 + 1/k²) · |y₁ - y₂|
• 点差法：k_AB = 2p / (y₁ + y₂) = p / y_T
• 双曲线交点分类条件：
  • 右支两点：x₁ + x₂ > 0 且 x₁x₂ > 0
  • 左支两点：x₁ + x₂ < 0 且 x₁x₂ > 0
  • 两支各一：x₁x₂ < 0
• 直线形式总表：
  • 点斜式 y - y₀ = k(x - x₀)
  • 斜截式 y = kx + b
  • 过 (t,0)：x = my + t 或 y = k(x - t)
  • 过 (0,b)：y = kx + b 或 x = m(y - b)
  • 不过 (x₀,y₀)：M(x-x₀) + N(y-y₀) = 1

【例题结论】

• 即学即练四：焦点弦 |AB| = 5p/2 → 斜率 k = ±2（两种方法印证）
• 例题二-1：答案 8
• 例题二-2：已知 |MF| = 5 得 x_M = 5 - p/2、y_M² = 10p - p²，由 AM ⊥ MF 解得 → 答案 A
• 例题二-3：抛物线为 y² = 4x（即 p = 2）
• 例题三-1：过 (-3,2) 与 y² = 4x 只有一个公共点的直线共三条
  • y = 2、x + y + 1 = 0、x - 3y + 9 = 0
• 例题三-2：答案 B、C
• 变式一（三-1 后）：答案为对应第三条情形
• 例题三-3：过 (1,0) 斜率 -2，x = -½y + 1，代入 y² = 4x 得 |AB| = 5
  • （存疑：若原题抛物线为 y² = 8x，则 |AB| = 2√15）
• 变式一（倾斜角 π/4）：|AB| = 2p / sin²(π/4) = 4p；对 y² = 4x 即 8
• 点差法示例：y² = 4x 时 k_AB = 2 / y_T；若 y_T = 1 则 k = 2
• 作业讲评（双曲线简单几何性质）：1→C，2→D，3→B，4→A，5→a=4，6→(-1,8)，7→C(3x-y-6=0)，8→A(多选两正确)，9→B
• 例题 10 第一问：双曲线 x² - y² = 1 与直线交点三种版本（右支两点 / 左支两点 / 两支各一），均用韦达定理分类

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