第9讲 · 直线与圆锥曲线的位置关系（直线方程的多种形式 · 弦长问题 · 交点个数）

说明（取值范围书写规矩）：本套讲义统一要求——凡涉及「取值范围」，必须用区间或集合形式作答（如 (-∞,0)、{k | k > 1}），绝不可只写 x > a 这类不等式。下文首次出现相关讨论时会再次提示。

本讲是圆锥曲线板块的收尾，下讲正式进入数列。本讲新授重点为：直线方程的多种形式（尤其是「倒斜横截式」）、抛物线的弦长问题、点差法求中点弦，以及双曲线与直线交点个数的韦达定理分类。

一、圆锥曲线知识汇总（复习，非考点）

本讲先用一页活页式「基础知识汇总」快速回顾前面板块：

直线与圆：标准方程、一般方程；过两交点/与定圆相切的待定特征；弦所在直线方程；与圆有关的六种最值问题（恰有 1、2、3、4 个交点时切线长等的分类）；直线与圆的位置关系（优先用几何法，代数法较繁）。
椭圆：离心率、准线、焦点三角形面积最大值的「平行切线法」；第二定义（到焦点距离与到对应准线距离之比为定值 e）；焦半径公式 r = a ± ex。
双曲线：到两定点距离之差的绝对值为定值；简单几何性质；渐近线相关问题；参数方程（暂不要求）。
抛物线：到焦点距离与到准线距离之比等于 1；焦半径公式、弦长公式；抛物线上一点到两定点 / 两定直线 / 一定点一定直线的距离和最小值（常把到焦点距离转化为到准线距离）。

以上为工具书式汇总，用于预习、巩固、查漏，不单独考查。

二、直线方程的多种形式（本讲重点新方法）

圆锥曲线中常需把直线「联立」进曲线方程。很多同学无论什么情形都只用 y = kx + b 或 y - y₀ = k(x - x₀)，这往往不是最简便的设法。系统归纳直线的多种形式如下：

1. 点斜式（最常用）

y - y₀ = k(x - x₀)

2. 斜截式（过 y 轴定点）

过 (0, b)：

y = kx + b

3. 过 x 轴上定点 `(t, 0)` 的两种设法

倒斜横截式：x = my + t
- 其中 m 是斜率的倒数（m = 1/k），t 是直线在 x 轴上的横截距。
- 名称由来：第一个参数是斜率倒数，第二个参数是横截距，故称「倒斜横截式」。
- 优点：代入 y² = 2px 时只需把 x 用 y 表示，一次消元、避免平方，计算极简。
另法：y = k(x - t)。

4. 过 y 轴上定点 `(0, b)` 的少见设法

除 y = kx + b 外，亦可设 x = m(y - b)（极少用，但无本质区别）。

5. 不过某定点 `(x₀, y₀)` 的设法

M(x - x₀) + N(y - y₀) = 1

多用于齐次化（齐二次化）方法。后续遇到再补充。

三、抛物线的焦点弦与弦长公式（知识点三，讲义 66 页上方）

考虑抛物线 y² = 2px (p > 0)，过焦点 F(p/2, 0) 的弦 AB 称为焦点弦。

1. 基本弦长公式（由定义）

由抛物线定义：

|AF| = x₁ + p/2,   |BF| = x₂ + p/2

两式相加得：

|AB| = x₁ + x₂ + p

其中 x₁x₂、y₁y₂ 均由联立后的韦达定理求得。

2. 用倾斜角的快捷公式（小题神器）

若直线倾斜角为 α，则焦点弦长：

|AB| = 2p / sin²α

已知弦的斜率或倾斜角时，可直接「秒出」弦长，做小题极快。

3. 焦半径倒数和的定值结论

1/|AF| + 1/|BF| = 2/p   （定值，可证）

作为结论，建议自行补证。

即学即练四（66 页上方）

已知焦点弦 |AB| = 5p/2，求直线 AB 的斜率。

解法一（定义 + 韦达定理） 由 |AB| = x₁ + x₂ + p = 5p/2，得 x₁ + x₂ = 3p/2。设过焦点 F(p/2, 0) 的直线为 y = k(x - p/2)，代入 y² = 2px：

k²(x - p/2)² = 2px

整理为关于 x 的二次方程，由韦达定理：

x₁ + x₂ = (k²p + 2p)/k² = p + 2p/k² = 3p/2

解得 2p/k² = p/2，故 k² = 4，k = ±2。

解法二（倾斜角公式，更快）

|AB| = 2p/sin²α = 5p/2  →  sin²α = 4/5
→  tan²α = 4  →  k = tanα = ±2

答：斜率 k = ±2。

四、例题二-1、二-2、二-3（焦点相关问题）

例题二-1

答案：8（直接计算即可）。

例题二-2

已知抛物线 y² = 2px (p > 0)，定点 O(0,0)、F(p/2, 0)。M 在抛物线上且 |MF| = 5，∠MAF = 90°（即 AM ⊥ MF），求相应量，答案选 A。

关键步骤（方法）：

由 |MF| = 5，即 M 到准线 x = -p/2 的距离也为 5，故 x_M + p/2 = 5，得 x_M = 5 - p/2。
代入抛物线：y_M² = 2p·x_M = 2p(5 - p/2) = 10p - p²，即 M = (5 - p/2, √(10p - p²))。
利用垂直条件 AM · MF = 0（向量点乘为 0）建立方程，可解得对应选项，答案为 A。

注：原逐字稿此处口述坐标较乱，推导脉络如上，最终结论选 A（详见文末注意点）。

例题二-3

由条件推得该抛物线为：

y² = 4x      （此时 2p = 4，即 p = 2）

后文直线和抛物线的位置关系即基于此抛物线展开。

五、直线与抛物线的位置关系（讲义 68 页）

例题三-1

过 (-3, 2) 作直线与抛物线 y² = 4x 只有一个公共点，求直线方程。

「只有一个公共点」分两类情形：

平行于对称轴的水平直线（应优先考虑）：y = 2，与 y² = 4x 交于 (1, 2)，恰一个点。
相切情形：用「倒斜横截式」设直线 x + 3 = m(y - 2)，即 x = my - 2m - 3。

代入 y² = 4x：

y² = 4(my - 2m - 3)  →  y² - 4my + 8m + 12 = 0

相切要求 Δ = 0：

Δ = 16m² - 4(8m + 12) = 16(m² - 2m - 3) = 0
→  m² - 2m - 3 = 0  →  (m - 3)(m + 1) = 0
→  m = 3 或 m = -1

m = 3：x = 3y - 9 → x - 3y + 9 = 0
m = -1：x = -y - 1 → x + y + 1 = 0

答：满足条件的三条直线为

y = 2,    x + y + 1 = 0,    x - 3y + 9 = 0

例题三-2

答案：B、C（双选）。

变式一

答案：选项「三」（即第三条对应情形）。

六、弦长问题进阶 · 倒斜横截式求弦长（例题三-3）

过 (1, 0) 作斜率为 -2 的直线，交抛物线于 A、B 两点，求弦长 |AB|。

斜率 k = -2，其倒数为 -1/2，横截距为 1，用倒斜横截式设：
```
x = -½y + 1
```
代入 y² = 4x：
```
y² = 4(-½y + 1) = -2y + 4  →  y² + 2y - 4 = 0
```
由韦达定理：y₁ + y₂ = -2，y₁y₂ = -4。

弦长公式（以 y 为变量）：

|y₁ - y₂| = √[(y₁ + y₂)² - 4y₁y₂] = √[4 + 16] = √20 = 2√5
|AB| = √(1 + 1/k²) · |y₁ - y₂|
     = √(1 + 1/4) · 2√5
     = (√5/2) · 2√5 = 5

答：|AB| = 5。

注：原逐字稿此处中间数字（y₁+y₂=-4、y₁y₂=-8、得 2√15）与 y²=4x 设定不自洽，已按一致推导修正为 5（详见文末注意点，标「存疑待核」）。若原题抛物线实为 y² = 8x，则结果确为 2√15。

变式一（倾斜角法，直接套公式）

已知直线倾斜角为 π/4，由焦点弦公式：

|AB| = 2p / sin²(π/4) = 2p / (1/2) = 4p

对 y² = 4x（即 p = 2）而言，|AB| = 8。

七、点差法求中点弦斜率

对抛物线 y² = 2px 上两点 A(x₁, y₁)、B(x₂, y₂)：

y₁² = 2p x₁
y₂² = 2p x₂

两式相减：

(y₁ - y₂)(y₁ + y₂) = 2p(x₁ - x₂)
→  k_AB = (y₁ - y₂)/(x₁ - x₂) = 2p / (y₁ + y₂)

设弦 AB 中点纵坐标为 y_T，则 y₁ + y₂ = 2y_T，于是：

k_AB = 2p / (2y_T) = p / y_T

以本讲 y² = 4x（即 p = 2）为例：k_AB = 2 / y_T。

结论：只要知道中点纵坐标 y_T，中点弦所在直线的斜率立即得到，无需先求 A、B 坐标。若中点纵坐标 y_T = 1，则 k_AB = 2。

八、作业讲评：双曲线简单几何性质

以下为上一讲（双曲线）作业答案速览（只列结论，便于自查）：

题号	答案	要点
1	C	概念辨析
2	D	共焦点且渐近线为 `y = -x` 的双曲线方程
3	B	实轴长 = `√2` × 虚轴长
4	A	离心率（已知渐近线斜率 `√3/2` 等条件）
5	a = 4	`x = a` 与双曲线有两个交点时 `a` 的取值
6	(-1, 8)	`y - 1 = 0` 所截弦的中点坐标
7（能力提升）	C，直线 `3x - y - 6 = 0`	中点弦
8（多选）	A（共两个正确选项）	焦点 `(5,0)`，点 `P` 在双曲线上
9	B	离心率
10	见下节	双曲线与直线交点（第一问三种版本）

九、双曲线与直线交点个数（韦达定理分类，重点方法）

以双曲线 x² - y² = 1 为例，研究直线 y = kx + 1 与它的交点个数。

将直线代入双曲线：

x² - (kx + 1)² = 1
→  (1 - k²)x² - 2kx - 2 = 0        （*）

1. 用韦达定理刻画「支」的分布

设两交点横坐标为 x₁, x₂，由（*）：

x₁ + x₂ = 2k / (1 - k²),    x₁x₂ = -2 / (1 - k²) = 2 / (k² - 1)

两交点都在右支（x₁ > 0, x₂ > 0）：
```
x₁ + x₂ > 0  且  x₁x₂ > 0
```
两交点都在左支（x₁ < 0, x₂ < 0）：
```
x₁ + x₂ < 0  且  x₁x₂ > 0
```
两交点分属两支（左右各一）：
```
x₁x₂ < 0
```

取值范围书写规矩再提示：上述条件必须用集合/区间形式表达。例如「直线与右支交于两点」的充要条件写作 { (k) | x₁ + x₂ > 0 且 x₁x₂ > 0 }；「与两支各交于一点」写作 { k | x₁x₂ < 0 }。

2. 特殊情形

0 个交点（相离）：仅一种——方程（*）无实根。
1 个交点：有两种可能
- 相切（Δ = 0）；
- 直线平行于渐近线（k = ±1，此时 1 - k² = 0，二次项消失，退化为一次方程，恰一解）。
2 个交点（相交）：再细分为「交左支两点 / 交右支两点 / 两支各一点」三种，如上用韦达定理区分。

例题 10（第一问，三种版本）：对双曲线 x² - y² = 1，讨论直线与其「与右支交于两点 / 与左支交于两点 / 与两支各交于一点」的 k 取值范围，均按上述韦达定理方法分类即可。

本讲修正/注意点

下列为清洗时静默修正或存疑标注项（口误 / ASR 错转 / 存疑待核）：

口误/闲聊剥离：删除课前投屏调试、活页夹发放说明、课间闲聊、电影报名、签到点名（张杰、张一宁等约 30 人名单）、与内容无关的插话等全部非授课内容。
「普及」→ 补集：全篇检索未见「普及」一词（多为「补充」），故无此项替换；按项目标准，若后续出现一律改「补集」。
「伟大定理」→ 韦达定理：全文多处 ASR 将「韦达定理」误转为「伟大定理」，已全部还原。
「鉴定线」→ 渐近线：第 179–181 行「平行于鉴定线」等，已还原为「渐近线」。
「乡里」→ 相离：第 179、181 行「乡里（相离）」，已还原。
「旗字化」→ 齐次化：第 41 行「所谓的叫旗字化」即「齐次化（齐二次化）」，已还原。
「交点线」→ 焦点弦：第 45 行「称之为叫交点线」即「焦点弦」，已还原。
「凹陷」→ 焦点：第 45 行「交这个地方的凹陷于 AB 两点」即「交焦点」，已还原为「焦点」。
「对值问题」→ 最值问题：第 9 行「六种对值问题」即「六种最值问题」，已还原。
「倒写横结式」→ 倒斜横截式：第 39 行教师自嘲的称谓，统一为准名称「倒斜横截式」。
「二分之P d0」→ (p/2, 0)：第 89 行焦点坐标 F(p/2, 0)，已还原符号。
「二分之二」→ x_M + p/2：第 91 行 M 到准线距离，按 x_M + p/2 = 5 还原，得 x_M = 5 - p/2。
「五减二分之B / 10p减B方」→ 5 - p/2、10p - p²：第 91–93 行，B 系 p 的误转，已还原。
「FC 就等于二分之5p」→ x₁ = 5p/2：第 83 行 FC 系横坐标 x₁ 误转，且「二分之五」漏 p，按 x₁² = (5p/2)x₁ 还原为 x₁ = 5p/2。
例题二-3 中「P方就等于4p就等于2r，P就等于四」→ p = 2：第 111 行严重乱码，按「抛物线为 y² = 4x」还原为 2p = 4 → p = 2。
「Y等于K加B」「Y等于a倍的X减二分之一」等：已统一为规范符号 y = kx + b、y = k(x - p/2)。
「三平方阿尔法 / fine怎么放」→ sin²α、2p/sin²α：第 59 行，已还原倾斜角弦长公式。
「S加Y加一 / X减3y加9」→ x + y + 1 = 0、x - 3y + 9 = 0：第 125 行直线方程，已还原。
「倍根号一数」→ 2√15；「四倍根号三P」→ 4√3·p（第 69、71、137 行）：根号与系数已还原。
「双虚线」→ 双曲线（第 163 行）：已还原。
「抛物线的交点」→ 抛物线的焦点：第 81 行「垂心恰好是这个抛物线的交点」即「焦点 F」，已还原（保留几何术语「垂心」）。
【存疑待核】例题三-3 弦长：原逐字稿中间数字 y₁+y₂ = -4、y₁y₂ = -8、结论 2√15 与所设 y² = 4x 不自洽。按 y² = 4x、斜率 -2、过 (1,0) 一致推导得 |AB| = 5（见第六节）。若原题抛物线实为 y² = 8x，则原结论 2√15 成立——此处标注存疑，建议核对原题。
【存疑待核】例题二-2 点坐标：原稿口述 A、M 具体坐标较乱，已按「|MF|=5 得 x_M=5-p/2、再借 AM ⊥ MF」的方法脉络整理，最终选 A；精确题面建议核对讲义。
取值范围书写：按项目标准，凡「取值范围」一律用区间或 {x | …} 集合形式（见第一节说明及第九节再提示），未出现裸写 x > a 的情形。