第8讲 · 抛物线及其统一定义（圆锥曲线之抛物线）

本讲说明：凡涉及「取值范围」，一律用区间或 {x | …} 形式表达，不写 x > a 这类不等式写法。本讲的「取值范围」规矩即从此处开始执行。

一、课前小测压轴题（椭圆与双曲线共点问题）

题源：练习册（小册）第六册第 4 题，是本节课开场最难的一道题。

已知条件：一个椭圆与一个双曲线有公共焦点 F₁, F₂（焦距 F₁F₂ = 2c），且二者有一个公共交点 P。在 △PF₁F₂ 中，PF₁ > PF₂，且该三角形为等腰三角形，两腰为 PF₂ 与 F₁F₂，即

PF₂ = F₁F₂ = 2c

由定义列式：

椭圆（a 记为 a₁）：PF₁ + PF₂ = 2a₁
双曲线（a 记为 a₂）：PF₁ − PF₂ = 2a₂

推导 key relation：

PF₁ = 2a₁ − PF₂ = 2a₁ − 2c          ……(1)
PF₁ = 2a₂ + PF₂ = 2a₂ + 2c          ……(2)

由 (1)(2) 得：2a₁ − 2c = 2a₂ + 2c，两边除以 2：

a₁ − c = a₂ + c   ⇒   a₁ − a₂ = 2c

两边同除以公共的 c：

a₁/c − a₂/c = 2   ⇒   1/e₁ − 1/e₂ = 2

（其中 e₁ = c/a₁ 为椭圆离心率，e₂ = c/a₂ 为双曲线离心率，且 e₂ > 1。）

题干所求：1/e₁ + 4e₂ 的取值范围。

由 1/e₁ = 2 + 1/e₂ 代入：

1/e₁ + 4e₂ = 2 + 1/e₂ + 4e₂ = 4e₂ + 1/e₂ + 2

令 x = e₂，因双曲线离心率 e₂ > 1，故 x ∈ (1, +∞)。考察函数

f(x) = 4x + 1/x + 2,   x ∈ (1, +∞)

f′(x) = 4 − 1/x²，当 x > 1 时 f′(x) > 0，故 f(x) 在 (1, +∞) 上单调递增。

x → 1⁺ 时，f(x) → 4 + 1 + 2 = 7（取不到）；
x → +∞ 时，f(x) → +∞。

因此

1/e₁ + 4e₂ 的取值范围为 (7, +∞)

即大于 7。核心思路：先由几何关系（等腰 + 共焦点）找出 e₁, e₂ 的关系，再化为单变量函数值域问题。

二、圆锥曲线名称的由来与历史

名称由来（几何直观）：拿不同方向的平面去截一个（可无限延伸的）圆锥：

水平平面去截 → 圆
稍微倾斜去截 → 椭圆
平面恰好平行于母线去截 → 抛物线
再倾斜一些（同时切到两侧） → 双曲线（一支或两支）

这就是「圆锥曲线」名字的来源：它们都是圆锥被平面截出的截线。

历史补充：

约公元 1600 年，法国数学家笛卡尔发明直角坐标系，我们才得以用解析式（代数）研究圆锥曲线。
早在古希腊，数学家阿波罗尼斯（也译阿波罗尼奥斯）仅靠纯几何「手搓」，在《圆锥曲线论》中记录了 400 多条二级结论。他在坐标系发明前约 1800 年就用几何方法完成了这些结论。
例如：已知圆外一点，只用这一个点加圆、再只用一把直尺，就能作出该点到圆的切线并找出切点——方法是过该点任意引 4 条直线交圆于 8 个点，将这 8 个点按特定方式交叉相连，所得两点连线与圆的交点即为切点。此法对椭圆、双曲线、抛物线等所有二次曲线都成立，本质上是极点—极线（pole-polar）思想的雏形。

三、抛物线及其标准方程

定义：平面内到**定点 F（焦点）与定直线 l（准线）**距离相等的点的轨迹，叫做抛物线。即

MF / d(M, l) = e = 1

（动点 M 到焦点距离与到准线距离之比恒为 1。）

标准方程推导（以开口向右为例）：

设 F(p/2, 0)，准线 l: x = −p/2，M(x, y)。由定义：

√[(x − p/2)² + y²] = |x + p/2|

两边平方：

(x − p/2)² + y² = (x + p/2)²
x² − px + p²/4 + y² = x² + px + p²/4

化简得 y² = 2px。

四种标准形式（顶点均在原点，p > 0）：

形式	开口方向	焦点	准线
`y² = 2px`	向右	`(p/2, 0)`	`x = −p/2`
`y² = −2px`	向左	`(−p/2, 0)`	`x = p/2`
`x² = 2py`	向上	`(0, p/2)`	`y = −p/2`
`x² = −2py`	向下	`(0, −p/2)`	`y = p/2`

p 的几何意义：焦点到准线的距离（p > 0）。
通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，其长度为 2p。

四、焦半径

抛物线上任意一点到焦点的距离，等于它到准线的距离（由定义直接转化，这是抛物线最常用的「定义转化」）。

例：对 y² = 2px 上点 M(x₀, y₀)，其焦半径 |MF| = x₀ + p/2。

五、即学即练（求焦点、准线、方程）

已知方程求焦点与准线：

y² = −x：2p = −1，p = −1/2，焦点 (−1/4, 0)，准线 x = 1/4。
x² = 8y：2p = 8，p = 4，焦点 (0, 2)，准线 y = −2。
y² = ax（a ≠ 0）：化为 y² = 2·(a/2)·x，焦点 (a/4, 0)，准线 x = −a/4。
y² = −(7/2)x：2p = −7/2，p = −7/4，焦点 (−7/8, 0)，准线 x = 7/8。

已知焦点求方程：

焦点 (4, 0) ⇒ p/2 = 4 ⇒ p = 8 ⇒ 方程 y² = 16x。

轨迹题：

点 P 到 (1/2, 0) 的距离，比它到 y 轴的距离大 1/2。设 P(x, y)，当 x > 0 时：
```
√[(x − 1/2)² + y²] = x + 1/2
```
平方化简得 y² = 2x（x > 0，顶点除外）。

六、圆锥曲线的统一定义（第二定义）

统一定义：平面内到定点 F（焦点）的距离与到定直线 l（准线）的距离之比为定值 e 的点的轨迹：

e = 0 → 圆
0 < e < 1 → 椭圆
e = 1 → 抛物线
e > 1 → 双曲线
椭圆、双曲线各有左、右焦点与对应的左、右准线（各两条）；抛物线只有一条准线。
离心率谱系（连续变化）：圆 (0) → 椭圆 (0, 1) → 抛物线 (1) → 双曲线 (1, +∞)。这也对应「截圆锥」时截面从水平到越来越倾斜的过程。

椭圆推导（右焦点 F₂(c, 0)，右准线 x = a²/c，e = c/a）：

√[(x − c)² + y²] / (a²/c − x) = c/a

即 √[(x − c)² + y²] = a − (c/a)x，两边平方并整理，最终得 x²/a² + y²/b² = 1。

双曲线推导（右焦点 F₂(c, 0)，右准线 x = a²/c，e = c/a > 1）：

√[(x − c)² + y²] / (x − a²/c) = c/a

即 √[(x − c)² + y²] = (c/a)x − a，两边平方并整理，最终得 x²/a² − y²/b² = 1。

（推导关键在于椭圆中 a² = b² + c²，双曲线中 c² = a² + b²，即 a² − c² = −b²。）

例：椭圆 x²/25 + y²/16 = 1，a = 5, b = 4, c = 3，焦点 (±3, 0)，离心率 e = 3/5，右准线 x = 25/3。它也可表述为「到 (3,0) 的距离与到 x = 25/3 的距离之比为 3/5 的点的轨迹」。

判定技巧：已知动点到定点与定直线距离之比，若比值 > 1 → 双曲线；比值 < 1 → 椭圆。

补充：椭圆、双曲线还可由「到两定点连线斜率之积 = ±b²/a²」来定义，这也是一种等价定义方式。

七、抛物线的几何性质与直线交点

几何性质：范围、顶点、离心率（e = 1）、标准方程、焦半径（见前）。

抛物线与直线的交点个数（以 y² = 2px 与直线 y = kx + b 联立）：

代入得 k²x² + (2kb − 2p)x + b² = 0，判别式

Δ = (2kb − 2p)² − 4k²b² = 4p(p − 2kb)

Δ > 0 且 k ≠ 0 → 两个交点；
Δ = 0 → 相切，一个交点（k = p/(2b)）；
k = 0（直线平行于对称轴）→ 退化为一次方程，仍为一个交点；
Δ < 0 → 无交点。

例：直线 y = kx + 1 与抛物线 y² = 4x（此时 p = 2）联立：

k = 1 时 Δ = 0，相切，1 个交点；
0 < k < 1 或 k < 0 时，2 个交点；
k = 0 时，直线平行对称轴，1 个交点；
k > 1 时，Δ < 0，无交点。

直线的不同设法：除常用的 y = kx + b（或 y = k(x − x₀) + y₀）外，还可设 x = my + n（用 y 表示 x）。将其代入 y² = 2px 得 y² − 2pmy − 2pn = 0，只产生一个二次项，计算更简洁。此设法留待下节课系统总结。

本讲修正/注意点

符号/字母还原：22c / 23c → 2c（焦距 F₁F₂）；2a1 / 2a2 → 2a₁ / 2a₂；e1 / e2 / 11 / 12 → e₁ / e₂；1/e1 等统一为 1/e₁。
「光曲线」 → 双曲线（ASR 错转）。
「EF BG」乱码 → 据上下文还原为等腰三角形中 PF₂ = F₁F₂ = 2c 的几何等量关系（核心推导依据）。
焦点/准线字母缺失：二分之 P / X 等于负二分之一 → 还原为 F(p/2, 0)、准线 x = −p/2；「四分零的平方」→ (p/2)²。
变量拼写：Y 方 → y²；X 方 → x²；2P X → 2px。
分式符号：a 分之 C → c/a（离心率 e）；C 分之 a 平方 → a²/c（准线）。
焦点/准线称谓：左交点/右交点、左转/右转 → 左焦点/右焦点、左准线/右准线。
「第二题 / 第二个」 → 统一定义（第二定义）。
「极点与极限」 → 极点—极线（pole-polar）思想。
「对值 / 对值或者是取值范围」 → 值域或取值范围。
直线与斜率还原：KS 加一 → 直线 y = kx + 1；走在黑的零 / 平行轴 → 平行于对称轴；A 小于一 / A 大有意思 → k < 1 / k > 1。
「军事工程师」 → 疑为「代入（计算）」之意，按「代入化简」理解（存疑待核）。
准线数值纠错：y² = −(7/2)x 的准线应为 x = 7/8，原口述误作 x = 7/4（已改正）。
准线符号纠错：焦点 (0, 2) 对应准线应为 y = −2，原口述「y = 2」系口误（已改正）。
双曲线参数关系纠错：原口述「b² = a² + b²」系 ASR 错转，正确应为 c² = a² + b²（即 a² − c² = −b²）。
取值范围统一用区间：第 4 题答案写为 (7, +∞)，未写作 x > 7（执行本讲规矩）。
删去内容：课前点名（梁飞、张杰等一长串人名）、小册书写指令、课间闲聊（王者荣耀、FPS 游戏等）及破碎句，均按规范删除，仅保留授课数学内容。
「小册第六个小字」 → 第六个小册（练习册）。