第8讲 大纲 · 抛物线及其统一定义（圆锥曲线之抛物线）

【概念】

• 抛物线
  • 定义：到定点 F（焦点）与定直线 l（准线）距离相等的点的轨迹
  • 特征比 e = 1，即 MF / d(M, l) = 1
• 焦点 F、准线 l、参数 p
  • p 的几何意义：焦点到准线的距离（p > 0）
  • 顶点在原点
• 通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长度 2p
• 焦半径：抛物线上一点到焦点的距离（= 该点到准线的距离）
• 圆锥曲线统一定义（第二定义）
  • 到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离之比为定值 e
  • e = 0 → 圆；0 < e < 1 → 椭圆；e = 1 → 抛物线；e > 1 → 双曲线
• 左焦点 / 右焦点、左准线 / 右准线
  • 椭圆、双曲线各两条准线；抛物线仅一条准线
• 离心率谱系（连续）：圆 (0) → 椭圆 (0, 1) → 抛物线 (1) → 双曲线 (1, +∞)

【方法】

• 由定义推导抛物线标准方程（开口向右）
  • 设 F(p/2, 0)，准线 x = −p/2，由 √[(x−p/2)² + y²] = |x + p/2| 平方得 y² = 2px
• 求焦点 / 准线
  • 先化为标准形式 y² = 2px 或 x² = 2py，再读本讲参数
• 焦点弦 / 焦半径转化
  • 点到焦点距离 ⇄ 点到准线距离
• 轨迹题列法
  • 用「到定点距离比到定直线距离大常数」列等式再平方化简
• 统一定义推导椭圆 / 双曲线标准方程
  • 取右焦点 F₂(c, 0) 与右准线 x = a²/c，比值为 e = c/a，平方化简得标准方程
• 抛物线与直线交点个数讨论
  • 联立求判别式 Δ；注意 k = 0（直线平行对称轴）时单独为一个交点
• 直线的不同设法
  • 除 y = kx + b 外，可设 x = my + n（用 y 表示 x），与 y² = 2px 联立仅一个二次项，计算更简

【公式】

• 四种标准方程及焦点、准线
  • y² = 2px：焦点 (p/2, 0)，准线 x = −p/2（开口右）
  • y² = −2px：焦点 (−p/2, 0)，准线 x = p/2（开口左）
  • x² = 2py：焦点 (0, p/2)，准线 y = −p/2（开口上）
  • x² = −2py：焦点 (0, −p/2)，准线 y = p/2（开口下）
• 通径长：2p
• 焦半径（y² = 2px）：|MF| = x₀ + p/2
• 共点等腰关系：a₁ − a₂ = 2c
• 离心率关系：1/e₁ − 1/e₂ = 2
• 小册第 4 题目标式：1/e₁ + 4e₂ = 4e₂ + 1/e₂ + 2，e₂ ∈ (1, +∞)
• 统一定义等式：√[(x−c)² + y²] / |x − a²/c| = c/a
• 离心率：e = c/a；右准线：x = a²/c
• 抛物线与直线联立判别式：Δ = 4p(p − 2kb)（y² = 2px 与 y = kx + b）
• 椭圆参数关系：a² = b² + c²
• 双曲线参数关系：c² = a² + b²（即 a² − c² = −b²）

【例题结论】

• 小册第 4 题：1/e₁ + 4e₂ 的取值范围为 (7, +∞)
• 即学即练
  • y² = −x → 焦点 (−1/4, 0)，准线 x = 1/4
  • x² = 8y → 焦点 (0, 2)，准线 y = −2
  • y² = ax → 焦点 (a/4, 0)，准线 x = −a/4
  • y² = −(7/2)x → 焦点 (−7/8, 0)，准线 x = 7/8
• 已知焦点 (4, 0) → 方程 y² = 16x
• 轨迹题：到 (1/2, 0) 距离比到 y 轴距离大 1/2 → y² = 2x（x > 0）
• 椭圆 x²/25 + y²/16 = 1：c = 3，e = 3/5，右准线 x = 25/3
• 直线 y = kx + 1 与 y² = 4x
  • k = 1 相切（1 个交点）
  • k ∈ (0, 1) ∪ (−∞, 0) 两个交点
  • k = 0 一个交点（平行对称轴）
  • k > 1 无交点
• 椭圆 / 双曲线另一定义：到两定点连线斜率之积 = ±b²/a²

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