知知数 · 高中数学
第 19 讲 · 第五章 函数零点与三角函数

第十九讲：同角三角函数基本关系

巩固弧度、象限与特殊角，掌握同角三角函数关系及其化简、求值方法。

按讲义顺序整理
本讲来源课堂第 20 次课资料

学习目标

  • 熟练判断任意角所在象限及三角函数符号。
  • 掌握同角三角函数的平方关系与商数关系。
  • 会根据一个三角函数值和象限求其余函数值。

核心公式

sin⁡2α+cos⁡2α=1,\displaystyle \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1, tan⁡α=sin⁡αcos⁡α(cos⁡α≠0).\displaystyle \tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\quad(\cos\alpha\ne0).

已知 sin⁡α\sin\alpha 求 cos⁡α\cos\alpha 时，先由平方关系得到绝对值，再由角所在象限确定正负号。只写根号而不判号，通常会丢掉题目最关键的信息。

齐次式视角

只含同次的正弦、余弦式可以同除以 cos⁡nα\cos^n\alpha，化成关于 tan⁡α\tan\alpha 的式子。非齐次式则可利用

1=sin⁡2α+cos⁡2α\displaystyle 1=\sin^2\alpha+\cos^2\alpha

补齐次数，再做代数化简。

三角函数求值的顺序是“定象限—用公式—判正负”。平方关系只能给出绝对值，象限才决定符号。

典型策略

遇到 sin⁡α±cos⁡α\sin\alpha\pm\cos\alpha，可先平方并利用 sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1；遇到分式齐次式，优先除以余弦的最高次幂转成正切。特殊角值应与单位圆位置对应记忆，而不是孤立背表。

分母含 cos⁡α\cos\alpha 时要保留 cos⁡α≠0\cos\alpha\ne0 的条件；开平方后不能默认取正根。

方法总结

同角关系把三角问题转成代数问题；象限负责符号，齐次结构负责选择除以正弦还是余弦。

自我检查

  1. 已知正弦值后为什么仍需象限信息？ 2. 如何识别齐次三角分式？ 3. 什么时候适合用 1=sin⁡2α+cos⁡2α1=\sin^2\alpha+\cos^2\alpha？