第二十讲：齐次化简与诱导公式

学习目标

• 熟练把齐次式化为关于 $\tan\alpha$ 的有理式。
• 理解诱导公式而非机械记忆全部变体。
• 会把大角、负角化为锐角或已知角。

齐次化简

对于正弦、余弦的二次齐次分式，分子分母同除以 $\cos^2\alpha$，即可化为 $\tan\alpha$ 的式子。若式子次数不齐，则先用 $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ 补齐。

诱导公式

处理 $k\pi/2\pm\alpha$ 时分两步：先判断函数名是否改变，再判断结果符号。

• 加减整数倍 $\pi$：函数名通常不变；
• 加减奇数倍 $\pi/2$：正弦与余弦互换；
• 符号由原角终边所在象限决定。

课堂口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的奇偶，是指 $\pi/2$ 前系数的奇偶。

口诀只负责给出结构，最终符号必须结合象限检查。先画终边或在单位圆上定位，往往比死背更可靠。

整体代换

若多个角共享某个复杂表达式，把它整体记为 $t$，再调用基本公式。整体代换能显著减少符号错误，也是后续研究 $A\sin(\omega x+\varphi)$ 的基础。

“奇变”指函数名变化，不代表符号一定变负；符号仍由象限决定。

方法总结

齐次式除以同次幂，诱导公式先变函数名再判符号，复杂角优先整体代换。

自我检查

1. “奇变偶不变”中的奇偶指什么？ 2. 为什么还要单独判断符号？ 3. 非齐次式如何补成齐次式？