第二十一讲 知识大纲：同角三角函数关系 · 齐次式化简 · 诱导公式
配套清洗稿：clean_transcript_class21.md ｜ 课时：高一数学 X 班（序班）第 21 讲
一、作业答案速查（第 5–10 题）
| 题号 |
答案 |
| 5 |
C |
| 6 |
C |
| 7 |
C |
| 8 |
B |
| 9 |
B、C |
| 10 |
A、C、D |
- 第 9、10 题为「sinα 与 cosα 混合」型，是本课方法的主练对象。
二、核心方法一：sinα ± cosα 与 sinαcosα 互化
三兄弟恒等式（必背）：
- (sinα + cosα)² = 1 + 2sinαcosα
- (sinα − cosα)² = 1 − 2sinαcosα
知二求一模板
- 已知 sinα+cosα → 平方得 sinαcosα → 再平方得 sinα−cosα（符号按象限定）；
- 已知 sinαcosα → 直接代入两式求「和」「差」平方。
- 第 9 题：sinα+cosα=±1/5 → sinαcosα=−12/25 → sinα−cosα=7/5（二象限为正）。
- 第 42 页第 3 题：先平方求 cosα 再回代。
三、核心方法二：二次齐次式「除以 cos²α」
通用手法（必考）
- 分子分母都是 sin/cos 二次式 → 同除以 cos²α → 全化为 tanα(=t)。
- 例：(sin²θ−cos²θ)/(sin²θ+cos²θ) = (t²−1)/(t²+1)。
第 44 页第 4 题模板
- 已知 (1−t)/(1+t)=√3/3 → 解得 t = 2−√3；
- 代回 (t²−1)/(t²+1) = √3/2，选 C。
- 口诀：「分数线上下皆二次 → 同除 cos²α → 交给 tan」。第 7–10 题同一类。
四、常用比值速记表
| tanα |
sinα |
cosα |
| 1/2 |
√5/5 |
2√5/5 |
| 1/3 |
√10/10 |
3√10/10 |
| 1/7 |
√2/10 |
7√2/10 |
| 3/4 |
3/5 |
4/5 |
| 5/12 |
5/13 |
12/13 |
- 公式：tanα=a/b ⇒ sinα=a/√(a²+b²)，cosα=b/√(a²+b²)；符号由象限决定（tan 只给比值）。
- 0<α<π/4 ⇒ sinα<cosα（两值均在 (0,√2/2)）。
五、诱导公式（新课 · 重点）
单位圆基本式
| 变换 |
公式 |
| +2kπ |
sin、cos 不变 |
| +π |
sin(α+π)=−sinα，cos(α+π)=−cosα |
| −α |
sin(−α)=−sinα，cos(−α)=cosα |
| π−α |
sin(π−α)=sinα，cos(π−α)=−cosα |
| π/2+α |
sin=cosα，cos=−sinα |
| π/2−α |
sin=cosα，cos=sinα |
记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限
- 奇变偶不变：k 为奇数（k·π/2）→ 函数名互换 sin↔cos；偶数→不变。
- 符号看象限：把 α 当锐角，看原函数在对应象限的正负定符号。
- tan 无单独口诀：先化 sin/cos 再约。
速查表（α 锐角时）
| 式子 |
结果 |
| sin(3π/2+α) |
−cosα |
| sin(π/2−α) |
+cosα |
| sin(2π−α) |
−sinα |
| sin(3π/2−α) |
−sinα |
| sin(π/2+α) |
+cosα |
| cos(π−α) |
−cosα |
| cos(3π/2+α) |
+sinα |
| cos(π/2+α) |
−sinα |
| sin(π−α) |
+sinα |
六、正切周期
- tan(θ+π)=tanθ（周期 π，转 180° 不变）。
七、例题结论
- 大角度先化简：减 2kπ 回 [0,2π)，再用诱导公式。
- sin(17π/6)=1/2，cos(20π/3)=−1/2，tan(53π/6)=−√3/3。
- 例五：sinα=5/13 ⇒ tan(π+θ)=tanθ=−5/12，选 C。
- 例六：sinα=4/5 且 α 二象限 ⇒ cosα=−3/5，选 B。
- 收尾例：cos(α+π/2)=−sinα；sinα=3/5 ⇒ −3/5，选 C。
八、作业
- 巩固两类方法 + 诱导公式口诀；
- 完成 47 页下方及必刷题（诱导公式，5.3 第 103 页）相关题，做熟为止。
九、必考提醒
- 「除以 cos²α 化 tan」与「sin±cos 互化平方」是三角函数计算题的通用模板，月考/期中必出。
- 诱导公式「奇变偶不变，符号看象限」为选择题高频考点，记不住就画单位圆现推。
- 凡由 tanα 分配 sin/cos，符号一律回头看象限，不可只写比值。