第二十一讲 同角三角函数关系 · 齐次式化简 · 诱导公式
来源：20260807182943-高一数学X班-逐字稿文本-1.txt 课时：高一数学 X 班（序班）第 21 讲（2026 暑，承接三角函数） 说明：已剔除课前/课间闲聊、点名、外卖与游戏闲谈、ASR 乱码；修正口误与符号；按内容逻辑重排分段。数学符号（sin / cos / tan / θ / α / 平方）已据语音还原；取值范围、单调区间等按既有规范统一。
一、作业讲评与答案核对（第 5–10 题）
今天先对昨天留下的作业答案（已知第 4 题已讲过）：
- 第 5 题：选 C
- 第 6 题：选 C（sinα 的取值见题干）
- 第 7 题：选 C
- 第 8 题：选 B
- 第 9 题：选 B、C
- 第 10 题：选 A、C、D
同学普遍卡在第 9、10 题，下面重点讲这两类「sinα 与 cosα 混合」的题。
第 9 题（sinα + cosα 型） 已知 sinα + cosα = 1/5 或 −1/5。平方：
(sinα + cosα)² = sin²α + cos²α + 2sinαcosα = 1 + 2sinαcosα = 1/25
得 2sinαcosα = −24/25，即 sinαcosα = −12/25。一正一负 ⇒ 角在第二或第四象限。 老师用「经验」判断：两数之和为 1/5 量级、一为 −4/5 一为 3/5，落在第二象限 ⇒ cosα = −4/5，sinα = 3/5。 再看 sinα − cosα：
(sinα − cosα)² = 1 − 2sinαcosα = 1 + 24/25 = 49/25 ⇒ sinα − cosα = 7/5（第二象限为正）
第 10 题（sinαcosα 型） 已知 sinαcosα = 12/25，来自 4/5 × 3/5。注意符号有两种组合（同正或同负）。
- 若 0 < α < π/4，则 sinα < cosα，且二者都在 (0, √2/2) 内；
- B 选项若写成「sinα 小、cosα 大」但数值落在错误区间，则 B 不选；
- tanα = 4/3 或 3/4（由 sin/cos 分配决定）。
要点：这类题的核心不是死算，而是平方 + 互化。先由「和」或「积」之一，推出另一个，再定符号。
二、核心方法一：sinα ± cosα 与 sinαcosα 的互化
三者（记作 S+C、S−C、SC）由 sin²α + cos²α = 1 串联，是贯穿全章的「三角恒等式三兄弟」：
(sinα + cosα)² = 1 + 2sinαcosα (sinα − cosα)² = 1 − 2sinαcosα
用法：知二求一。
- 已知 sinα + cosα ⇒ 平方得 sinαcosα ⇒ 再平方得 sinα − cosα（符号按象限定）。
- 已知 sinαcosα ⇒ 直接代入两式求「和」与「差」的平方。
例（课堂 42 页第 3 题）：看到表达式含 sinα、cosα 的二次混合，先平方。 平方后先求 cosα，再回代；这类题「不平方搞不定」，是后续所有变形的基本功。
三、核心方法二：二次齐次式「除以 cos²α」化 tan
遇到分子、分母都是 sin、cos 的二次式（即分子分母齐次、次数相同），统一手法：
分子分母同除以 cos²α，全部变成 tanα（记作 t）的代数式。
因为 sin²α/cos²α = tan²α，sinαcosα/cos²α = tanα，cos²α/cos²α = 1，于是：
- (sin²θ − cos²θ) / (sin²θ + cos²θ) = (tan²θ − 1) / (tan²θ + 1)
- 一般形如 (a·sin² + b·sincos + c·cos²) / (…) 都可化为关于 t 的分式。
典型题（44 页第 4 题） 已知 (1 − tanθ)/(1 + tanθ) = √3/3，求 (sin²θ − cos²θ)/(sin²θ + cos²θ)。
- 先解 tanθ：由 (1 − t)/(1 + t) = √3/3 ⇒ 3(1 − t) = √3(1 + t) ⇒ t = 2 − √3；
- 原式 = (t² − 1)/(t² + 1)，代入 t = 2 − √3 计算得 √3/2，选 C。
口诀：「凡分数线上下都是二次，就同除以 cos²α，交给 tan 处理。」 第 7、8、9、10 题全是这一类，方法完全一样。
四、常用比值速记（由 tanα 拆分 sin、cos）
已知 tanα = 对边/邻边，直接按「比值 + 斜边」分配 sin、cos，不必每次重推：
| tanα | sinα | cosα |
|---|---|---|
| 1/2 | √5/5 | 2√5/5 |
| 1/3 | √10/10 | 3√10/10 |
| 1/7 | √2/10 | 7√2/10 |
| 3/4 | 3/5 | 4/5 |
| 5/12 | 5/13 | 12/13 |
用法：tanα = a/b ⇒ sinα = a/√(a²+b²)，cosα = b/√(a²+b²)；符号由象限决定（tan 只给比值，不给正负，必须再判象限）。
经验：高中常用特殊角就这几组（1:2、1:3、1:7、3:4、5:12…），记住能省大量时间。注意 0 < α < π/4 时 sinα < cosα；到学图像后会更直观。
配合互化公式的例（tanα = −1/2） 数字上 sinα、cosα 为 √5/5 与 2√5/5 之一；tan < 0 ⇒ 二或四象限。若已知为第二象限，则 sinα > 0、cosα < 0，代入表达式即可。
五、新课：诱导公式（单位圆 + 奇变偶不变，符号看象限）
1. 单位圆直观
在单位圆上，点 P₀(cosα, sinα) 随 α 旋转，三角函数值随之变化：
- 转 2kπ（一圈或多圈）：坐标不变 ⇒ sin(α+2kπ)=sinα，cos(α+2kπ)=cosα；
- 转 π：关于原点对称 ⇒ sin(α+π) = −sinα，cos(α+π) = −cosα；
- 转 π−α：关于 y 轴对称 ⇒ sin(π−α) = sinα，cos(π−α) = −cosα；
- 转 −α：关于 x 轴对称 ⇒ sin(−α) = −sinα，cos(−α) = cosα；
- 转 π/2±α：关于 y = x 对称（横纵交换）⇒ sin(π/2+α) = cosα，cos(π/2+α) = −sinα sin(π/2−α) = cosα，cos(π/2−α) = sinα
2. 记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限
处理 sin / cos(±α ± k·π/2)：
- 奇变偶不变：k 为奇数 ⇒ 函数名互换（sin ↔ cos）；k 为偶数 ⇒ 函数名不变；
- 符号看象限：把 α 当作锐角，看「原函数在对应象限」的正负，作为结果符号。
练手示例（课堂逐一抽问）
| 式子 | k | 变否 | α 为锐角时所在象限 | 原函数值符号 | 结果 |
|---|---|---|---|---|---|
| sin(3π/2 + α) | 3 | 变→cos | 第四象限 | sin 为负 | −cosα |
| sin(π/2 − α) | 1 | 变→cos | 第一象限 | sin 为正 | +cosα |
| sin(2π − α) | 4 | 不变 | 第四象限 | sin 为负 | −sinα |
| sin(3π/2 − α) | 3 | 变→sin | 第三象限 | sin 为负 | −sinα |
| sin(π/2 + α) | 1 | 变→cos | 第二象限 | sin 为正 | +cosα |
| cos(π − α) | 2 | 不变 | 第二象限 | cos 为负 | −cosα |
| cos(3π/2 + α) | 3 | 变→sin | 第四象限 | cos 为正 | +sinα |
| cos(π/2 + α) | 1 | 变→sin | 第二象限 | cos 为负 | −sinα |
| sin(π − α) | 2 | 不变 | 第二象限 | sin 为正 | +sinα |
考试常给「奇变偶不变」直接考，记不住就现推（画单位圆或代锐角）。tan 没有单独的诱导口诀——先转成 sin/cos 再约。
六、正切的周期：tan(θ + π) = tanθ
tan(θ + π) = sin(θ+π)/cos(θ+π) = (−sinθ)/(−cosθ) = tanθ。 即正切的周期为 π（转 180° 不变，转两圈更不变）。
七、例题（例三 ~ 例六）与课堂练习
角度先化简（例三/例四类） 大角度先减去 2kπ 回到 [0, 2π)，再用诱导公式：
- sin(17π/6) = sin(17π/6 − 2π) = sin(5π/6) = sin(π − π/6) = sin(π/6) = 1/2；
- cos(20π/3) = cos(20π/3 − 6π) = cos(2π/3) = cos(π − π/3) = −cos(π/3) = −1/2；
- tan(53π/6) = tan(53π/6 − 8π) = tan(5π/6) = −tan(π/6) = −√3/3。
形如 sin(330°)、sin(−30°)、cos(8π/3) 等，直接「减整圈 + 看象限」即可心算。
例五：已知 sinα = 5/13，求 tan(π + θ)。 tan(π + θ) = tanθ（周期 π）；由 sinα = 5/13 配合象限得 tanθ = −5/12，选 C。
例六：已知 sinα = 4/5 且 α 为第二象限角，则 cosα = −3/5，选 B。
收尾例：cos(α + π/2) = −sinα（奇变：cos→sin，α 锐角时 α+π/2 在第二象限，sin 为正 ⇒ 结果取 −sinα）；若 sinα = 3/5 ⇒ 值为 −3/5，选 C。
课堂练习：47 页下方诱导公式必刷题（103 页 5.3 对应题略有难度，务必动手做）。
八、作业与结课
- 巩固本课两类方法（sin±cos 互化、齐次式化 tan）与诱导公式口诀；
- 完成 47 页下方及必刷题（诱导公式）相关题，做熟为止；
- 下节课继续三角函数。
本讲修正 / 注意点
- ASR 重度乱码已静默还原：西塔→θ，阿尔法→α，赛括/赛克→sin/cos，二次→sin²+cos²（常数 1），零次→常数，鸡变→奇变。
- 第 9、10 题题干中「sinα+cosα = 1/5 或 −1/5」「sinαcosα = 12/25」为老师口述，具体题号与完整题干以讲义/板书为准。
- 第 44 页第 4 题中 (1−t)/(1+t)=√3/3 解出 t=2−√3、原式=√3/2 为老师口述结论；原式代入计算的代数细节较繁，建议核对板书。
- 第 44 页第 2 题（cosθ−sinθ）中「符号判定」一段转写前后矛盾（口播称「第二象限为负」却又给正答案 A），已按 |cosθ−sinθ|=2√3/3 处理，最终符号须依题给象限确定。
- 源文件中「sinα−cosα = 7/5」「tanα = 4/3 或 3/4」等数值结论已保留，其推导依赖的平方关系见第二节，逻辑自洽。
- 第 10 题 B 选项取舍的口语论证较乱，已简化为「0<α<π/4 ⇒ sinα<cosα」的规范判据。