第二十讲 知识大纲：三角函数（一）· 弧度与象限 · 同角三角函数基本关系
配套清洗稿：clean_transcript_class20.md ｜ 课时：8/6 第 20 讲
一、弧度与象限判断（速查）
- 关键节点：0、π/2≈1.57、π≈3.14、3π/2≈4.71、2π≈6.28（1 rad≈57.3°）。
- 1~6 弧度落点：1→Q1；2→Q2；3→Q2；4→Q3；5→Q4；6→Q4。
- 符号口径：sin 看 y 轴，cos 看 x 轴，tan = y/x。
二、三角函数符号判断（通法）
- 三步：化到 [0,2π)（周期/奇偶化简）→ 定象限 → 看坐标轴正负。
- 易错：cos(5π/3) 在 Q4 为正；cos(−π/6)=cos(π/6)>0（偶）。
- 必考：符号判断属高频小题，先化简再下结论。
三、由点坐标求值（公式）
- P(x,y)，r=√(x²+y²)：sinα=y/r，cosα=x/r，tanα=y/x。
- 例：cosα = x/√(x²+y²) 直接代入。
四、二倍角范围（变式一）
- 已知 sinα<0 且 cos2α<0：
- cos2α<0 ⇒ π/2+2kπ<2α<3π/2+2kπ ⇒ π/4+kπ<α<3π/4+kπ；
- 交 sinα<0 ⇒ α ∈ (5π/4, 7π/4)。
- 当前用画图法；二倍角公式学后更便捷。
五、终边相同角 / α/2 象限（分蛋糕法）
- 周期：2018° ≡ 218°（Q3）→ sin、cos 均负。
- α/2 判定：α∈Q2 ⇒ α/2∈Q1 或 Q3；加 cos(α/2)<0 ⇒ Q3。
- "分蛋糕"：把每象限均切 n 份，按一~四顺序循环"领蛋糕"判 α/n。
六、周期性与奇偶性计算
- tan(θ+2kπ)=tanθ；tan、sin 奇，cos 偶。
- 例题：√3cos60°+tan(−30°)+sin(−60°) = −√3/3。
七、圆上动点旋转（几何）
- 每转 1 秒=72°(=2π/5)；线段长=勾股+正弦。
- 半径 2、对角 72° 边长=2sin72°，选 C。
- 辨识一（单位圆）：Q 横坐标 −1/2 ⇒ 逆推 P 在 60°，选 B。"图会说话"。
八、同角三角函数基本关系（速查）
| 关系 |
公式 |
| 平方 |
sin²α + cos²α = 1 |
| 商数 |
tanα = sinα / cosα（cosα≠0） |
| 变形 |
(sin±cos)² = 1 ± 2sincos（可互推） |
九、由已知求值（模板）
| 例 |
条件 |
结论 |
| 1 |
sinα<0，3-4-5 三角 |
α∈Q4，选 D |
| 2 |
tanθ=1/3，求 (sin+cos)/(cos−sin) |
同除 cos → (1+tan)/(1−tan)=2 |
| 3 |
sinα 已知，α∈Q2 |
cosα<0，选 A |
| 4 |
tanα=√3，α∈Q3 |
sin=−√3/2,cos=−1/2；cos−sin=(√3−1)/2，选 C |
| 5 |
tanα=−√2，求 cos²−sin² |
同除 cos² → (1−tan²)/(1+tan²)=−1/3 |
方法模板
- 齐次式（sin、cos 同次）→ 同除以 cosⁿ 转 tan，最快。
- 范围/取值统一用集合或区间形式（如 α∈(5π/4,7π/4)）。
十、作业
- 讲义第 6 题至 41 页下方，约 7 题，明日对答案。
必考提醒
- 弧度↔象限"卡位"、三角函数符号判断：月考小题常客。
- 同角关系 + 齐次式"除一法"：高考/月考计算题高频套路。
- α/n 所在象限的"分蛋糕法"：经典易错，必会。