第二十讲 三角函数（一）· 弧度与象限 · 同角三角函数基本关系

来源：20260806182907-高一数学X班-逐字稿文本-1.txt 课时：2026 暑 高一数学 X 班（序班），8/6 第 20 讲（课前小测为对数函数，19:30 起正式讲三角） 说明：已剔除课前小测收发、点名签到、课间闲聊、分数播报与转录乱码；修正口语口误；按内容逻辑重排分段。本讲承接"任意角和弧度制""各象限角与三角函数定义"。

一、弧度与象限：1～6 弧度分别在第几象限

核心工具：1 弧度 ≈ 57.3°。在数轴上记住这几个关键节点，用来"卡位"：

把 1～6 弧度依次"放"进去，判断象限与三角函数符号：

记忆技巧：判断符号只盯"看哪个轴"——sin 看 y 轴，cos 看 x 轴，tan = y/x。

二、三角函数符号判断（通法）

判断一个三角式子的正负，统一三步：先化到 [0, 2π)（利用周期性/奇偶性化简）→ 定象限 → 看对应坐标轴的正负。

例（口播较乱，按通法处理）：

• sin2 > 0、cos2 < 0（2 弧度在第二象限）；
• 含 cos(−π/6) 的式子：cos(−π/6) = cos(π/6) > 0（余弦是偶函数）；
• 凡涉及 5π/3 这类角，先化到 [0, 2π)：5π/3 在第四象限，cos(5π/3) > 0（不是负的，注意别被口播带偏）。

注意点：符号判断题是"送分题也是坑分题"，务必先化简再下结论，不要凭感觉。

三、已知点的坐标求三角函数值（变式二）

若点 P(x, y) 是角 α 终边上一点，r = √(x² + y²)，则：

sinα = y/r，cosα = x/r，tanα = y/x（x ≠ 0）。

例：已知角 α 终边上一点，求 cosα。直接套公式 cosα = x / √(x² + y²) 代入即可（选项判定按具体数字比对）。

四、二倍角范围问题（变式一）

已知 sinα < 0 且 cos2α < 0，求 α 的范围。

• sinα < 0 ⇒ α 在 x 轴下方（第三、四象限）；
• cos2α < 0 ⇒ 2α 落在左半平面 ⇒ π/2 + 2kπ < 2α < 3π/2 + 2kπ ⇒ π/4 + kπ < α < 3π/4 + kπ；
• 与"sinα < 0"取公共部分，取 α ∈ (π, 2π) 这一段（k = 1）： π/4 + π < α < 3π/4 + π ⇒ 5π/4 < α < 7π/4。

结论：α ∈ (5π/4, 7π/4)。

目前只能"画图法"硬数（把 α 和 2α 的终边同时画出来看位置）。等学到二倍角公式后会更省事。

五、终边相同角 / 周期性 / α 的半角所在象限

1. 终边相同角（例六、例七）

例：2018° 去掉 5 个 360° 后余 218°（2018 − 5×360 = 218），218° 在第三象限，故 sin2018° < 0 且 cos2018° < 0（横、纵坐标都负，关于 y = x 对称交换后仍为都负，仍在第三象限）。

2. α/2 在第几象限——"分蛋糕法"（例八）

规律：判断 α/n 的象限，把每个象限平均切成 n 份，再按一、二、三、四的顺序依次"领蛋糕"。

• 例：α 是第二象限角，求 α/2 的象限。
  • α ∈ (90° + 360°k, 180° + 360°k) ⇒ α/2 ∈ (45° + 180°k, 90° + 180°k)；
  • k 取偶 ⇒ 第一象限；k 取奇 ⇒ 第三象限。所以 α/2 在第一或第三象限。
  • 若再加条件 cos(α/2) < 0（余弦为负 ⇒ 在左半平面），则锁定 第三象限。

"分蛋糕"= 把圆均分成 2n 份后按象限顺序循环取，能快速判定 α/2、α/3 等的所在象限。

六、周期性与奇偶性计算（例九、变式1）

• 周期性：tan(θ + k·2π) = tanθ。例如某角减去 3 个整圈（6π）后变为 60°，则 tan 值 = tan60° = √3。
• 奇偶性：tan、sin 都是奇函数（f(−x) = −f(x)），cos 是偶函数。

变式1 计算： √3·cos60° + tan(−30°) + sin(−60°) = √3·(1/2) + (−√3/3) + (−√3/2) = √3/2 − √3/3 − √3/2 = −√3/3。

七、圆上动点与旋转（几何应用，例十一/例十二、辨识一）

这类"时钟/圆盘转动"题，本质是把旋转角与三角函数结合：

• 每转 1 秒 = 72°（= 2π/5）；转 2 秒 = 144°。
• 求线段长用勾股定理 + 正弦定理：斜边为 2、对角 72°(=2π/5) 的边长 = 2·sin72°，对应选项 C。
• 半径已知（如 r = 2），转过的弧长对应圆心角，弧长 = r·θ，再换算旋转角度。

辨识一（单位圆）：点 P 在单位圆上逆时针旋转到点 Q，已知 Q 的横坐标 = −1/2。

• 画图：Q 在 120° 或 240° 位置（x = −1/2）；
• 逆推 P：Q 由 P 逆时针转 π/3（60°）得来 ⇒ P 在 60° 处（横坐标 1/2）；
• 直接读图最快，答案选 B。

圆上动点题"图会说话"——先把单位圆/圆盘画准，坐标和角度一目了然。

八、同角三角函数的基本关系（新课）

只有两件事，但能变出很多题：

1. 平方关系：sin²α + cos²α = 1 （几何来源：单位圆上点的横纵坐标平方和 = 1）。
2. 商数关系：tanα = sinα / cosα（cosα ≠ 0）。

常用变形（"三角完全平方公式"）：

• (sinα + cosα)² = 1 + 2sinαcosα；
• (sinα − cosα)² = 1 − 2sinαcosα；
• 故 sinα + cosα 与 sinαcosα 可互推（已知其一能求另一）。

九、由已知求未知（例一至例六）

例1：sinα 为负，且是 3-4-5 三角形 ⇒ cosα 必须为正 ⇒ α 在第四象限，选 D。

例2：已知 tanθ = 1/3，求 (sinθ + cosθ)/(cosθ − sinθ)。 分子分母同除以 cosθ： = (tanθ + 1)/(1 − tanθ) = (1/3 + 1)/(1 − 1/3) = (4/3)/(2/3) = 2。

例3：sinα 已知，α 在第二象限 ⇒ cosα 必为负（平方和为 1），选 A。

例4：tanα = √3 且 α 在第三象限。

• 比例 √3 : 1 ⇒ sinα = −√3/2，cosα = −1/2（第三象限双负）；
• cosα − sinα = −1/2 − (−√3/2) = (√3 − 1)/2，选 C。

例5：tanα = −√2，求 cos²α − sin²α。 用"除一法"分子分母同除以 cos²α： = (cos²α − sin²α)/(sin²α + cos²α) = (1 − tan²α)/(1 + tan²α) = (1 − 2)/(1 + 2) = −1/3。

方法模板：见到齐次式（sin、cos 次数相同），同除以 cosⁿ 转成 tan 的式子最快。

十、作业与结课

• 留作业：讲义第 6 题到 41 页下方，约 7 道题，明天上课直接对答案。
• 小测（对数函数）已收，掌握度约八成，整体不难。

本讲修正 / 注意点

1. 变式二 cosα 的口播数值（"B 选项 −5/√5"）为 ASR 乱码；方法明确：cosα = x / √(x² + y²)，具体数字以板书为准。
2. 第二节符号判断段口播跳跃，含"cos(5/3π) < 0"等易错表述——5π/3 在第四象限，cos 应为正，已按"化到 [0, 2π) → 定象限 → 看坐标"的通法修正；选项以板书为准。
3. 弧度近似值取 1 rad ≈ 57.3°（课堂口播），仅用于象限快速"卡位"。
4. 辨识一 的旋转角与坐标口播有跳动，以"单位圆画图 + 坐标"方法为准，结论选 B。
5. 角度/取值范围统一用集合或区间形式（如 α ∈ (5π/4, 7π/4)），符合高一规范。