知知数 · 高中数学
第 18 讲 · 第五章 函数零点与三角函数

第十八讲：函数零点与三角函数初步

用和定、积定与数形结合研究零点，并进入任意角、弧度制和三角函数定义。

按讲义顺序整理
本讲来源课堂第 19 次课资料

学习目标

  • 识别零点问题中的“和定”与“积定”结构。
  • 掌握任意角、象限角和弧度制。
  • 会用单位圆定义正弦、余弦与正切。

零点模型

二次方程两根满足韦达关系；对勾函数 ax+b/xax+b/x 取相同函数值时，横坐标之积常为 b/ab/a。先寻找根的和或积是否固定，再通过图像确定根的个数和范围，是这类题的主线。

任意角与弧度制

逆时针旋转形成正角，顺时针形成负角。终边相同的角相差 2kπ2k\pi，但它们并不是同一个角。角度与弧度的核心换算是

180∘=π.\displaystyle 180^\circ=\pi.

弧长与扇形面积分别为

l=αr,S=12αr2,\displaystyle l=\alpha r,\qquad S=\frac12\alpha r^2,

其中 α\alpha 必须使用弧度。

单位圆定义

若角 θ\theta 的终边与单位圆交于 P(x,y)P(x,y)，则

cos⁡θ=x,sin⁡θ=y,tan⁡θ=yx.\displaystyle \cos\theta=x,\qquad\sin\theta=y,\qquad\tan\theta=\frac yx.

因此点的坐标顺序是 (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta,\sin\theta)。正弦看纵坐标，余弦看横坐标，正切看两者之比。

“终边相同”不等于“角相等”；写一般象限角时不要漏掉 k∈Zk\in\mathbb Z。

方法总结

零点先找代数不变量再看图；任意角用终边理解，三角函数用单位圆坐标理解。

自我检查

  1. 为什么终边相同角相差 2kπ2k\pi？ 2. 点 (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta,\sin\theta) 在不同象限时三角函数符号如何变化？