第十九讲 知识大纲：函数零点（数形结合） · 任意角与弧度制 · 三角函数定义

配套清洗稿：clean_transcript_class19.md ｜ 课时：高一数学 X 班（序班）第 19 讲

一、零点中的"和定"与"积定"

• 和定：两零点之和恒定（如二次 x₁+x₂=−b/a、|log| 交点）。
• 积定：两零点之积恒定（如对勾函数 ax+b/x，令 =t 得 ax²−tx+b=0，x₁x₂=b/a）。
• 套路：先判和定/积定，再数形结合；问"几个零点之和/积的范围"即此模型。

二、例九 / 例十（参数范围）

• 例九（图像识别）选 A：√(x−1) 是 √x 下移 1 单位；1/4 x²+x 开口向上。
• 例十（|log₂x| 与 −x²+4x−3 截三交点）：c ∈ (2, 3) 选 B（端点不可取）。题面以板书为准。
• 拓展（三函数值相等）：x₂+x₃=4（和定），x₁∈(0,1.5) → 三者之和 ∈ (5/2, 4)。

三、根的分布 / 数形结合

题型六（|…|−1 三实根）

• 会画翻折图像，边界被 y=1 盖住，看图选 B。

例十四（开口向下的根分布）

• f(x)=−x²+ax+4，一根<−1 一根>2 ⇒ 只需 f(−1)>0 且 f(2)>0。
• f(−1)=3−a>0 ⇒ a<3；f(2)=2a>0 ⇒ a>0 ⇒ a ∈ (0,3) 选 A。
• 变式一~三同理（端点函数值符号分类）。

例十五 / 变式（交点排序）

• 2ˣ、log₂x、x³ 与 −x 交点：a < c < b。
• √x、log₂x、(1/2)ˣ 与 1−x 交点：b < c < a。
• 统一：含相同部分（−x 或 1−x）且问三个零点 → 数形结合一次画图。

四、函数综合提升（期末压轴，32 页）

第一问

• log₂(x+2) < log₂(2x) ⇒ x+2 < 2x ⇒ x ∈ (2, +∞)（定义域 x>0 已含）。

第二问（存在性 + 换元）

• 令 t=log₂x (t≥0)，m ≥ (t+2)²/t = t + 4/t + 4；t=2 取最小 8 ⇒ m ∈ [8, +∞)。
• 套路：换元 → "存在"即 m ≥ 最小值。

第三问（最值 + 分类）

• log₂(x+a) 在 [−1,2] 最大 log₂3：a>1（定义域）；最大值只在端点取，分"左取右不取/右取左不取"两类均矛盾 ⇒ 无解（不存在）。

五、对数小测预告

• 明天晚上对数小测（零点为主，不涉指数，难度收住）。必考提示：参数范围/根分布类题是月考大题常客。

六、任意角与弧度制

任意角

• 射线绕端点旋转所成；正角(逆)/负角(顺)/零角。
• 始边= x 轴正方向；终边相同角相差 360° 整数倍，终边同≠相等。
• 象限角（落象限）/轴线角（落轴）。
• 第一象限角：2kπ < α < 2kπ + π/2，k ∈ Z（务必写 k∈Z）。

弧度制

• π = 180°；1 弧度=半径长圆弧所对圆心角（与半径无关）。
• 弧长 l = αr；扇形面积 S = ½αr²（α 用弧度）。
• 速查：30°=π/6，45°=π/4，60°=π/3，90°=π/2，180°=π，270°=3π/2，360°=2π。

七、三角函数定义

单位圆定义

• P(x,y) 在单位圆上：sinθ=y，cosθ=x，tanθ=y/x。
• 点坐标 = (cosθ, sinθ)（顺序别反！）。

各象限符号

诱导公式一

• sin(α+2kπ)=sinα，cos、tan 同理（k∈Z）。转整圈值不变。

特殊角记忆（手指法）

例题结论

• 例一：第二象限 sinα=4/5 ⇒ 取 y=8 得 x²=36，x=−6（二象限 x<0）。
• 例二 选 A；例三 分 P(−4,3)/P(4,−3) 两情形两值 选 D。
• 变式一：(sin5π/6, cos5π/6) 关于 y=x 对称得 (1/2,−√3/2) ⇒ 最小正值 300°(5π/3) 选 B。

八、作业

• 95–96 页（任意角与弧度制）：入门题，熟悉写法。例：分针拨快 20 分钟 ⇒ 时针转 −10°。
• 明天对数小测。

速查表（本讲核心公式 / 结论）