第十九讲 函数零点（数形结合·和定积定） · 任意角与弧度制 · 三角函数定义

来源：20260805182712-高一数学X班-逐字稿文本-1.txt 课时：2026 暑 高一数学 X 班（序班）第 19 讲（音频 2026-08-05） 说明：已剔除课前/课间闲聊（雷劈断网、朋友圈、长隆香草、薪酬吐槽等）、点名与转录乱码；修正口语口误与 ASR 符号错转（和定/积定、零角、θ/α、log₂ 等）；按内容逻辑重排分段。

一、承上启下：函数零点中的"和定"与"积定"

昨天停在函数零点相关问题，画了一条虚线把图像分段处理。今天先提炼一类数形结合题的通用规律：

两个零点 x₁、x₂ 之间，常常存在"和定"（x₁ + x₂ 为定值）或"积定"（x₁·x₂ 为定值）的关系。

典型模型

• 二次函数：y = ax² + bx + c，两零点满足 x₁ + x₂ = −b/a（和定）。
• 绝对值函数（如 |logₐx|）：两交点横坐标也常呈和定关系。
• 对勾函数：y = ax + b/x（a > 0，b > 0），若 f(x₁) = f(x₂)，则 x₁·x₂ = b/a（积定）。
  • 证明：令 ax + b/x = t → ax² − tx + b = 0，由韦达定理 x₁x₂ = b/a，积为定值。

要点：这类题"一半和定、一半积定"。问你"几个零点之和的范围""几个零点之积的范围"，先判断是和定还是积定，再数形结合。

二、例九 / 例十（数形结合确定参数）

例九（图像识别，如 √(x−1)、1/4 x² + x 等）：答案为 A。

• 注意：√(x−1) 是 √x 图像向下平移 1 个单位；1/4 x² + x 是开口向上的二次函数。

例十（多零点 / 参数范围） 结合 |log₂x| 与二次函数（如 y = −x² + 4x − 3 = −(x−1)(x−3)，开口向下）的图像，用水平线 y = c 去截，要得到三个交点：

• 抛物线顶点在 x = 2，顶点值 = 1；对数支决定 c 的另一段边界。
• c 必须落在一个开区间内（端点不可取：等于下界只剩一个交点、等于上界只剩两个交点）。
• 结论：c ∈ (2, 3)，选 B。

注意：本例题面 ASR 破碎严重，"三个点的前提"及上下界口播混乱，最终结论"选 B、c ∈ (2, 3)"为老师口述，精确题面请以板书为准。

例十拓展（三个相等的函数值） 某分段函数（x ≥ 0 一支、x < 0 一支）满足三个函数值相等，引水平线观察：

• 上方两支交点恒满足 x₂ + x₃ = 4（和定）；
• 最下方那支的横坐标 x₁ 取不到两端点，范围在 (0, 1.5)；
• 故三者之和的范围为 (5/2, 4)。把图画好即可看出。

三、题型六 / 题型七（根的分布与数形结合）

题型六（绝对值减一函数，三个实根） 函数形如 |…| − 1，需先会画其图像（过原点后翻折，再减 1）。问"有且仅有三个不同的实数根"时：

• 看边界值：左侧被 y = 1 盖住（取不到），右侧为减函数（类反比例）。
• 看图说话，符合条件的参数区间对应 B 选项。

题型七 · 例十四（二次函数根的分布） 已知 f(x) = −x² + ax + 4（开口向下），一根小于 −1、一根大于 2。

• 逻辑：只需保证 f(−1) > 0 且 f(2) > 0（开口向下时，两端点函数值为正即可把两根"夹"在 −1 与 2 之外）。
• f(−1) = −1 − a + 4 = 3 − a > 0 → a < 3；
• f(2) = −4 + 2a + 4 = 2a > 0 → a > 0；
• 综合 a ∈ (0, 3)，选 A。

变式一~三处理手段类似（两根分布问题），按端点函数值符号分类即可，不急。

例十五 / 变式（交点排序） 把方程化为与 y = −x 的交点问题：

• 2ˣ = −x、log₂x = −x、x³ = −x，三图像与 y = −x 的交点自左向右依次为 a、c、b → a < c < b。
• 变式一：√x = 1−x、log₂x = 1−x、(1/2)ˣ = 1−x，与 y = 1−x 的交点排序同理，得 b < c < a。

这类题统一套路：含相同部分（−x 或 1−x）且问三个零点时，数形结合一次性画图搞定。

四、函数综合提升（32 页，期末压轴风格）

三道来自四大名校期末卷的题，最难一道为期末倒数第二题位置。

第一问 解不等式 log₂(x + 2) < log₂(2x)。

• 两底相同、log₂ 为增函数 → x + 2 < 2x → x > 2；
• 定义域 x + 2 > 0 且 2x > 0 → x > 0，与 x > 2 取交集；
• 答案：x ∈ (2, +∞)。（勿把简单题算复杂）

第二问 存在 x ∈ [1, +∞)，使 (log₂x + 2)² ≤ m·log₂x 成立，求 m 的范围。

• 令 t = log₂x，因 x ≥ 1 故 t ≥ 0（取等时 x = 1）；原不等式化为 (t + 2)² ≤ mt；
• 移项：m ≥ (t + 2)² / t = t + 4/t + 4（"存在"只需 m ≥ 最小值）；
• 由基本不等式，t = 2 时 t + 4/t + 4 取最小值 8；
• 答案：m ∈ [8, +∞)。 一步换元即可。

第三问 函数 log₂(x + a)（取绝对值并把下方翻折）在 [−1, 2] 上最大值恰为 log₂3，求 a。

• 定义域要求：图像向左平移至少 1 个单位才能在 [−1, 2] 上有定义 → a > 1；
• 最大值必在左端点或右端点取得（翻折后图像单调段，端点取极值是唯一可能），分两类：
  1. 左取右不取：|log₂(−1 + a)| = log₂3 且 |log₂(2 + a)| ≤ log₂3；
  2. 右取左不取：|log₂(−1 + a)| ≤ log₂3 且 |log₂(2 + a)| = log₂3；
• 拆绝对值求解，两类均无公共解（两组不等式区间矛盾，叠不出可行的 a）。
• 结论：无解（不存在这样的 a）。 真正"不存在"的题确实存在，先化简再分类即可。

老师点评：丢分大多不是不会，而是眼瞎、看错、负号下一行消失等失误；动不了笔的题极少。

五、对数小测预告 · 转场三角函数

• 已上四节对数，明天晚上搞一次对数小测（零点相关问题为主，不涉及指数函数，难度收住、不刁难），摸底真实水平。
• 之后正式进入三角函数新章：任意角与弧度制 → 三角函数概念 → 同角基本关系（sin²α + cos²α = 1，tanα = sinα/cosα）→ 诱导公式 → 正余弦图像。公式最多最"花"，需多课时。

六、任意角与弧度制

1. 任意角

初中角的范围是 0°~180°；高中把角看作平面内一条射线绕端点旋转所成的图形（如摩天轮、体操转体、电风扇）。

• 正角（逆时针）、负角（顺时针）、零角（未转动，运动量为零）。
• 始边一般规定为 x 轴正方向；终边停在哪，就按逆时针方向定一、二、三、四象限。
• 终边相同的角：起始位置（始边）相同，但转的周数不同（如 30°、390°、750°…）。
  • 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边必相同；终边相同的角相差 360° 的整数倍。

2. 象限角与轴线角

• 终边落在第几象限，叫第几象限角；落在坐标轴上，叫轴线角。
• 常用表示（k ∈ Z）：
  • 第一象限角：2kπ < α < 2kπ + π/2；
  • 第二象限角：2kπ + π/2 < α < 2kπ + π；
  • 第三象限角：2kπ + π < α < 2kπ + 3π/2；
  • 第四象限角：2kπ + 3π/2 < α < 2kπ + 2π。
• 必须写 k ∈ Z（"定义域优先"：不写 k ∈ Z 就退化成 R，失去意义）。

3. 弧度制

• 规定 π = 180°（π ≈ 3.1415926）。
• 1 弧度：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角。与圆的半径无关（比例逻辑）。
• 半圆 = π 弧度；整圆 2π 弧度，对应弧长 2πr，与小学公式统一。
• 弧长公式：l = α·r（α 用弧度）；
• 扇形面积公式：S = 1/2 · α · r²（可类比"底 × 高 ÷ 2"，把 αr 当底、r 当高）。
• 常见换算：30°=π/6，45°=π/4，60°=π/3，90°=π/2，180°=π，270°=3π/2，360°=2π。

七、三角函数定义

1. 任意角三角函数（单位圆定义）

初中只学锐角三角函数：sin = 对边/斜边，cos = 邻边/斜边，tan = 对边/邻边（特殊角 30°/45°/60°）。 高中把它推广到任意角：取单位圆上一点 P(x, y)（x² + y² = 1，半径 = 1），则

• sinθ = y，
• cosθ = x，
• tanθ = y/x（x ≠ 0）。

好处：分母恒为 1，表达极简。点 P 坐标可直接写成 (cosθ, sinθ)。公式在第一象限之外不更换，仍沿用同一套。

2. 各象限符号（看图即知）

• sinθ：看 y 值 → 第一、二象限为正；
• cosθ：看 x 值 → 第一、四象限为正；
• tanθ：y/x → 第一、三象限为正。

3. 诱导公式一

sin(α + 2kπ) = sinα，cos(α + 2kπ) = cosα，tan(α + 2kπ) = tanα（k ∈ Z）。

• 含义：转整圈后回到原位，三角函数值不变。需熟练。

4. 特殊角记忆（手指法）

• sin 值记忆：伸出的手指数 0、1、2、3、4 根 → √(n)/2（如 1 根→√1/2=1/2，2 根→√2/2，3 根→√3/2，4 根→√4/2=1）。

5. 与象限角相关的例题

例一：α 为第二象限角，sinα = 4/5，求 x。

• 设终边上一点 P(x, y)，sinα = y/√(x² + y²) = 4/5；
• 取 y = 8，则 √(x² + 64) = 10 → x² = 36 → x = ±6；
• 第二象限 x < 0 → x = −6。

例二：直接代入计算，答案为 A。

例三：点 P 满足 M ≠ 0，分两种情形 P(−4, 3) 或 P(4, −3)（沿不同对角线走），代入所求式得两个相反值，答案为 D。

变式一（单位圆上点的对称） 问坐标 (sin 5π/6, cos 5π/6) 对应的角的最小正值的点位置。

• (cos 5π/6, sin 5π/6) = (−√3/2, 1/2)（150°）；交换 sin、cos 即关于 y = x 对称，得 (1/2, −√3/2)；
• 该点对应角 = 300°（= 5π/3），即最小正值 300°，答案为 B。

关键：单位圆上点是 (cosθ, sinθ)，顺序别搞反。

八、作业与结课

• 今日作业：95–96 页（任意角与弧度制），很简单的入门题，但要熟悉写法。
  • 例：将钟表分针拨快 20 分钟，时针转过的角度 = −10°（时针 1 小时转 30°，20 分钟 = 1/3 小时 → 10°，拨快为顺时针即负角）。
• 明天晚上对数小测（难度收住，不刁难）；之后系统推进三角函数章节。

本讲修正 / 注意点

1. "和定 / 积定"（零点之和 / 积为定值）被 ASR 转成"核定 / 激定"，已还原为标准术语。
2. "零角"被转成"菱角 / 邻角"（如"正角、负角和零角"），已还原。
3. 希腊字母 θ、α 被转成"西塔 / 阿尔法"，已还原；对数函数统一写为 log₂、logₐ。
4. 例十题面 ASR 严重破碎，"c ∈ (2, 3)、选 B"为老师口述结论，精确题面（含具体函数式）请以板书为准核对。
5. 例十四识别为 f(x) = −x² + ax + 4（开口向下），由 f(−1) > 0、f(2) > 0 得 a ∈ (0, 3)，选 A；老师口播"4 + 2a + 4 > 0"即 f(2) = 2a > 0。
6. 综合提升第三问：log₂(x + a) 在 [−1, 2] 上最大值 log₂3，分"左取右不取 / 右取左不取"两类均矛盾，结论无解（不存在）。
7. 例三所求代数式 ASR 不清，已知分 P(−4, 3)、P(4, −3) 两种情形、对应两个值、选 D；具体式子以板书为准。
8. 所有取值范围均用集合 / 区间形式（a ∈ (0, 3)、m ∈ [8, +∞)、x ∈ (2, +∞)），符合高一规范。