第十七讲：复合对数函数与函数零点

学习目标

分段函数在整个定义域递增或递减，不仅要求每一段同向变化，还要比较连接处两侧的函数值。对数不等式则采用

\displaystyle \text{真数有意义}\rightarrow\text{看底数判方向}\rightarrow\text{比较真数}.

函数零点是使 $f(x)=0$ 的自变量值。若函数在 $[a,b]$ 上连续且 $f(a)f(b)<0$ ，则 $(a,b)$ 内至少存在一个零点；再有严格单调性，才能确认零点唯一。

“至少存在”与“有且仅有”不是同一件事。端点异号只保证存在，唯一性还需要单调性等附加条件。

含参数的零点题常把方程转成两条曲线的交点问题。若函数具有中心对称性，成对交点的横坐标和、纵坐标和往往为定值。对于“奇函数加常数”模型 $f(x)=g(x)+c$ ，其中 $g$ 为奇函数，有

\displaystyle f(x)+f(-x)=2c,

图像中心为 $(0,c)$ 。

单调区间应分别表述为“在某区间增、在某区间减”，不能把两个不相连的区间用并集冒充一个单调区间。

分段函数查段内与接口；对数综合先查定义域；零点问题优先尝试端点异号、单调性和数形结合。

分段减函数在连接处要满足什么条件？ 2. 零点存在定理为什么不能推出唯一性？ 3. 奇函数加常数的对称中心在哪里？