第十八讲 知识大纲：复合函数与分段函数 · 对数比大小与估值 · 零点与方程
配套清洗稿：clean_transcript_class18.md ｜ 课时：8/4 第 18 讲
一、分段函数（R 上严格减函数）求参
例：f(x)= (3a−1)x+4a (x≤1)；log_a x (x>1)
- 三条件同时满足：
- 左段减：(3a-1<0\Rightarrow a<1/3)；
- 右段减：(0<a<1)；
- 连接处不增：(7a-1\ge\log_a1=0\Rightarrow a\ge1/7)。
- 结论 (a\in[1/7,\ 1/3))（左闭右开）。
二、复合函数单调区间（定义域优先）
例 16：f(x)=log₂(2−x²)
- 定义域：(2-x²>0\Rightarrow x\in(-√2,√2))。
- 外层 log₂ 增 → 单调性由 (2-x²) 决定。
- 增区间 ((-√2,0)) 和减区间 ((0,√2))（用"和"，不写 ∪）。
- 口诀：做函数题先喊"定义域优先"。
三、对数比大小（画图 + 估值）
画图法
- 画 y=log_{1/3}x、y=log₂x、y=2^x，比纵坐标。
估值口诀（记常用值）
| 值 |
近似 |
| ln2 |
0.70 |
| ln3 |
1.10 |
| ln5 |
1.60 |
| ln7 |
1.95 |
| ln11 |
2.39 |
| ln13 |
2.56 |
- 大数拆质因数 + 换底；质数用相邻合数线性插值估。
- (\log_2 3>\log_3 4>\log_4 5)，三者均 >1。
- (\log_7 258\approx2.85)（精确值 <3）。
四、对数不等式与方程
- 套路：定义域优先 + 看底数判增减 + 比括号内大小。
- 例：(\log_a(1-x)>\log_a(x+2),\ a>1)
→ (1-x>x+2) 且真数>0 → (x\in(-2,-1/2))。
五、对数函数综合
定义域为 R
- (x²-x+a>0) 恒成立 → (\Delta<0\Rightarrow a>1/4)，且 (a\neq1)。
- (a\in(1/4,1)\cup(1,+∞))。
不等式分类讨论（log_a(x²−x+a)>log_a(ax)）
- (1/4<a<1)（减）：解集 ((a,1))；
- (a>1)（增）：解集 ((0,1)\cup(a,+∞))（定义域优先卡掉负半轴）。
六、奇函数求参（例 18）+ 三句废话
例 18：f(x)=log₂(√(4x²+16)+2x)−a，奇函数
- 法一（代入原点）：(f(0)=2-a=0\Rightarrow a=2)。
- 法二（证明法）：(f(x)+f(-x)=\log_2 16-2a=4-2a=0\Rightarrow a=2)。
三句废话
| 表达 |
用途 |
| f(−x)=−f(x) |
验证（一点成立≠处处成立） |
| f(x)=−f(−x) |
求解析式 |
| f(−x)+f(x)=0 |
证明（配平方差） |
七、反函数 + 奇函数常数模型（例 19）
- (a^x) 与 (\log_a x) 互为反函数，关于 (y=x) 对称。
- (f=g+c)（(g) 奇）→ 对称中心 ((0,c))，且 (f(x)+f(-x)=2c)。
- 见"奇函数+常数"先拆出奇部分消去，只剩常数尾巴。
八、零点与方程
定义与定理
- 零点 = 使 (f(x)=0) 的 (x) 值（不是点）。
- 零点存在定理：连续 + (f(a)·f(b)<0) ⇒ 至少一零点（不唯一，单调才唯一）。
方法模板
- 韦达定理求另一根（例 1、2）。
- 数形结合：对称点函数值之和=定值（例 4~6，关于 (1,1) 中心对称）。
- 端点代入法：代区间左右端点，异号则零点在内（例 5、6、7 选 C/C/B）。
- 例 8：零点 (x_0\in(1,2))，(a=-1-x_0) ⇒ (a\in(-3,-2))。
九、作业
- 必刷题 第 79 页（零点与方程）；对数函数小必刷题可自加练。
速查表（本讲必记）
- 分段减函数三条件：左减 + 右减 + 连接处不增。
- 单调区间用"和"，取值范围用集合（区间或 ({x\mid\cdots})）。
- 估值六连：ln2/3/5/7/11/13 ≈ 0.70/1.10/1.60/1.95/2.39/2.56。
- 零点：连续 + 异号 ⇒ 至少一零点（必考）。