第十八讲 复合函数与分段函数 · 对数比大小与估值 · 零点与方程

来源：20260804181004-高一数学X班-逐字稿文本-1.txt 课时：2026 暑 0 期高一数学 X 班（序班），8/4 第 18 讲 说明：已剔除课前闲聊（平板、高铁）、课间闲谈（游戏/动漫/明星）、点名、签到与转录乱码；修正口语口误与 ASR 符号错转；按内容逻辑重排分段。本讲承接对数与函数，进入复合函数单调性、对数估值、奇函数、反函数与零点。

一、分段函数（R 上严格减函数）求参数

例（分段函数） 设 [ f(x)=\begin{cases} (3a-1)x+4a, & x\le 1,\ \log_a x, & x>1. \end{cases} ] 要使 (f(x)) 在 (\mathbb R) 上为严格减函数，必须同时满足三条：

1. 左段减：((3a-1)x+4a) 是减函数 (\Rightarrow 3a-1<0)，得 (a<\dfrac13)。
2. 右段减：(\log_a x) 是减函数 (\Rightarrow 0<a<1)。
3. 连接处不增：在 (x=1) 处左段值不小于右段值， [ (3a-1)\cdot 1+4a \ge \log_a 1=0\quad\Rightarrow\quad 7a-1\ge 0\quad\Rightarrow\quad a\ge \frac17. ]

三条取交集，得 [ \boxed{a\in\left[\frac17,\ \frac13\right)}. ]

要点：分段函数在分界点"左减右减"还不够，必须再验"连接处不增（左值 ≥ 右值）"，否则会漏掉端点条件。

二、复合函数的单调性（定义域优先）

例（变式一 / 例 16）：求 (f(x)=\log_2(2-x^2)) 的单调区间 做函数题永远先把五个字放在最前面——定义域优先。

• 定义域：(2-x^2>0\Rightarrow x^2<2\Rightarrow x\in(-\sqrt2,\ \sqrt2))。
• 外层 (y=\log_2 t) 是增函数，所以 (f(x)) 的增减完全由内层 (t=2-x^2) 决定：
  • (t=2-x^2) 在 (x<0) 时单调增 (\Rightarrow f(x)) 在 ((-\sqrt2,0)) 单调增；
  • (t=2-x^2) 在 (x>0) 时单调减 (\Rightarrow f(x)) 在 ((0,\sqrt2)) 单调减。

因此：

• 单调递增区间：((-\sqrt2,0))；
• 单调递减区间：((0,\sqrt2))。

规范：单调区间之间用"和"连接，不写 (\cup)。即"增区间为 ((-\sqrt2,0)) 和减区间为 ((0,\sqrt2))"。

三、对数比大小：画图法 与 估算法

1. 画图法（最直观）

对 (f(x)=\log_{1/3}x)、(f(x)=\log_2 x)、(f(x)=2^x) 三个图像：

• (\log_{1/3}x) 单调减；(\log_2 x) 单调增；(2^x) 单调增且过点 ((0,1))。
• 比较 (\log_{1/3}2)、(\log_2 3)、(2^{-0.3}) 等，直接看对应图像上同一横坐标处的纵坐标即可。

2. 估算法（"方法/口诀"）

核心思路：记住几个常用对数值，任何大数的对数都能拆成质因数的对数之和来估算（用换底公式）。

记忆要点：15 以上的数，旁边必有两个合数，可拆成已知质因数来缩小估算误差。

例：估算 (\log_7 258) [ 258=2\times 3\times 43,\qquad \log_7 258=\log_7 2+\log_7 3+\log_7 43. ] 其中 (43) 是质数，用相邻合数近似：(\log_7 43\approx\dfrac{\log_7 42+\log_7 44}{2})。代入上表得 [ \log_7 258\approx 2.85\quad(\text{精确值略小于 }3,\ 因\ 7^3=343>258). ]

例（例 16 追问）：比较 (\log_2 3,\ \log_3 4,\ \log_4 5) 三者均大于 1，且 [ \log_2 3>\log_3 4>\log_4 5, ] 即随底数与真数同增 1，对数值递减。用换底或"中间值"即可快速判定，无需死算。

说明：本讲老师现场口算 (\log_7 258) 时结果口播约 3.1 有误，方法正确，精确值约为 2.85，见文末修正。

四、对数不等式与方程（定义域优先 + 单调性）

例：解 (\log_a(1-x)>\log_a(x+2))，其中 (a>1)

• 因 (a>1)，(\log_a t) 单调增，故括号内大小关系不变： [ 1-x>x+2\quad\Rightarrow\quad x<-\frac12. ]
• 定义域优先：真数须大于 0， [ 1-x>0\ \Rightarrow\ x<1;\qquad x+2>0\ \Rightarrow\ x>-2. ]
• 取交集得 [ \boxed{x\in\left(-2,\ -\frac12\right)}. ]

套路：带解析式的对数不等式 = "先定定义域，再看底数判增减，最后比括号内大小"。

五、对数函数综合：定义域为 R 与不等式分类讨论

1. 定义域为 (\mathbb R) 求参

若函数 (f(x)=\log_a(x^2-x+a)) 的定义域为 (\mathbb R)，则真数恒正： [ x^2-x+a>0\ \text{对一切 }x\text{ 成立}\quad\Rightarrow\quad \Delta=1-4a<0\quad\Rightarrow\quad a>\frac14. ] 又对数底数 (a\neq 1)，故 [ \boxed{a\in\left(\frac14,1\right)\cup(1,+\infty)}. ]

2. 解不等式（分类讨论）

解 (\log_a(x^2-x+a)>\log_a(ax))，需先按底数单调性分类。

• 当 (\dfrac14<a<1)（底数在 ((0,1))，减函数）：不等号反向， [ x^2-x+a<ax\quad\Rightarrow\quad x^2-(a+1)x+a<0\quad\Rightarrow\quad (x-a)(x-1)<0. ] 因 (a<1)，解集为 (a<x<1)，即 (\boxed{x\in(a,1)})。
• 当 (a>1)（增函数）：不等号不变， [ x^2-x+a>ax\quad\Rightarrow\quad (x-a)(x-1)>0. ] 因 (a>1)，解集为 (x<1) 或 (x>a)；再由定义域优先（(ax>0\Rightarrow x>0)）卡掉负半轴，得 [ \boxed{x\in(0,1)\cup(a,+\infty)}. ]

要点：单调性未知时，先分 (a\in(1/4,1)) 与 (a>1) 两类，再"因式分解 → 比根大小 → 定义域优先"。

六、奇函数求参（例 18）与"三句废话"

例 18：已知 (f(x)=\log_2!\big(\sqrt{4x^2+16}+2x\big)-a) 为奇函数，求 (a)。

法一（代入原点）：奇函数必过原点，(f(0)=0)。 [ f(0)=\log_2(\sqrt{16}+0)-a=\log_2 4-a=2-a=0\quad\Rightarrow\quad \boxed{a=2}. ]

法二（证明法 (f(-x)+f(x)=0)）： [ \begin{aligned} f(x)+f(-x) &=\log_2!\big(\sqrt{4x^2+16}+2x\big)-a+\log_2!\big(\sqrt{4x^2+16}-2x\big)-a\ &=\log_2!\Big[(\sqrt{4x^2+16}+2x)(\sqrt{4x^2+16}-2x)\Big]-2a\ &=\log_2(4x^2+16-4x^2)-2a=\log_2 16-2a=4-2a. \end{aligned} ] 令其为 0，得 (a=2)。

关于奇函数的"三句废话"（三种表达各有用途）

验证 ≠ 证明：代入一个点成立只能"验证"，要证奇函数必须用 (f(-x)+f(x)=0) 展开。

七、反函数 与"奇函数 + 常数"模型（例 19）

1. 反函数基本结论

• (a^x) 与 (\log_a x) 互为反函数，图像关于 (y=x) 对称。
• 例 19：(f(x)=\log_3 x)，则 (f(9)=2)（由反函数对称性一眼看出）。

2. 奇函数 + 常数 模型

若 (g(x)) 是奇函数，则 (f(x)=g(x)+c) 的对称中心由 ((0,0)) 上移到 ((0,c))，且 [ f(x)+f(-x)=2c. ]

例：设 (f(x)=g(x)+1)，其中 (g(x)) 由 (\log_5 x) 与 (\log_{1/5}x)（互为相反数）构成，故 (g(x)) 为奇函数。则 [ f(x)+f(-x)=2, ] 对称中心为 ((0,1))——两个 (f) 处的函数值相加恒等于 2。

套路：见到"奇函数 + 常数"，直接拆出奇函数部分 (g(x))，利用 (g(x)+g(-x)=0) 消去，只剩常数尾巴。

八、函数的零点与方程的解

1. 零点定义与判定定理

• 零点不是"点"，是使 (f(x)=0) 的 (x) 的值（横坐标）。
• 零点存在定理（介值定理）：若 (f(x)) 在 ([a,b]) 上连续，且 (f(a)\cdot f(b)<0)（一端小于 0、一端大于 0），则 ((a,b)) 内至少有一个零点。

2. 题型与方法

• 例 1、例 2：用韦达定理（两根之积）求另一根。
• 例 4 ~ 例 6（数形结合）：(2^x) 与 (\log_2 x) 关于 (y=x) 对称；(2^{-x}) 与 (2^x) 关于点 ((1,1)) 中心对称，对称点函数值之和为 2。利用对称性把方程转化为"对称点处函数值之和为定值"来求解。
• 例 5、例 6、例 7 及变式（端点代入法）：这是零点存在定理的落地操作——代入区间左右端点，若 (f(\text{左})\cdot f(\text{右})<0)（异号），则零点落在该区间。
  • 例 5、例 6：代入相邻整数端点，均选 C。
  • 例 7：代入 (f(0))、(f(1)) 异号，零点在中间，选 B。
• 例 8（用零点表示参数）：已知零点 (x_0\in(1,2))，且参数满足 (a=-1-x_0)，则 [ x_0\in(1,2)\ \Rightarrow\ -x_0\in(-2,-1)\ \Rightarrow\ a=-1-x_0\in(-3,-2). ] 故 (\boxed{a\in(-3,-2)})。

必考提醒：零点存在定理只保证"至少一个"，不保证唯一；单调函数才能保证唯一零点。端点代入法是大题常客。

九、作业与结课

• 今日作业：必刷题 第 79 页（对应零点与方程内容）。
• 对数函数小必刷题可自行往后加深。
• 下课前强调：零点题"端点代入 + 异号"是标准操作，务必练熟。

本讲修正 / 注意点

1. 全文多处"坟诀"疑为 ASR 误转，按语境还原为"方法 / 口诀"（估算法口诀）；保留原教学意图。
2. 分段函数求参结论：老师口播"1/7 到 1/3 左臂"，统一规范为 (\boxed{a\in[1/7,\ 1/3)})（左闭右开）。
3. 定义域为 (\mathbb R) 例题：须去掉 (a=1)（对数底数 (\neq 1)），答案为 ((1/4,1)\cup(1,+\infty))。
4. 对数估值现场演示 (\log_7 258)：老师口算结果约 3.1 有误（精确值约 2.85，因 (7^3=343>258)）；方法（拆质因数 + 相邻合数插值）正确，结果以精确计算为准。
5. 单调区间书写：递增 ((-\sqrt2,0)) 和递减 ((0,\sqrt2))，用"和"连接，不用 (\cup)。
6. ASR 符号还原：左臂→左闭；德塔→(\Delta)；远点→原点；一号/相异→异号；单增→单调增；普及（本讲未涉及补集，无需改）。