第十六讲：对数函数

学习目标

$y=\log_ax$ 的定义域为 $(0,+\infty)$ 、值域为 $\mathbb R$ ，恒过 $(1,0)$ 。当 $a>1$ 时递增；当 $0<a<1$ 时递减。它与 $y=a^x$ 互为反函数，图像关于 $y=x$ 对称。

比较多条对数曲线的底数时，可作水平线 $y=1$ ；交点横坐标就是底数。研究 $\log_a[g(x)]$ 时，必须先保证 $g(x)>0$ 。

“定义域为 $\mathbb R$ ”要求真数恒正；二次真数通常对应开口向上且 $\Delta<0$ 。“值域为 $\mathbb R$ ”则要求真数能覆盖全部正数，常对应 $\Delta\ge0$ 。

以 $f(x)=\log_{1/2}(x^2-ax+a)$ 为例：先由真数和值域限制参数，再判断内层二次函数在目标区间的单调性。外层对数函数递减，因此内层减时复合函数增，即“异减得增”。

过定点问题则令真数等于 $1$ 。例如 $\log_a(x-1)+2$ 中令 $x-1=1$ ，可得公共定点 $(2,2)$ 。

$\log_2(x^2)$ 与 $2\log_2x$ 的定义域不同，不能不加条件地认为两者完全相同。

先定定义域，再看底数判断外层增减；复合函数拆成内外两层，使用“同增异减”。

对数函数为什么恒过 $(1,0)$ ？ 2. 如何由图像判断底数大小？ 3. 复合函数单调性为什么必须先限制定义域？