第十五讲：对数概念与运算

学习目标

• 理解 $a^b=N\Leftrightarrow\log_aN=b$，记住底数与真数的限制。
• 熟练使用积、商、幂与换底公式化简对数式。
• 会先确定定义域，再解对数方程并验根。

核心知识

对数是指数运算的逆运算。式子 $\log_aN$ 有意义必须满足

常用对数记作 $\lg N$，自然对数记作 $\ln N$。核心运算为

杂底运算先统一底数；对数方程坚持“定义域优先—合并同底对数—去掉对数号—验根”四步。

方法与例题

指数式与对数式互化时，先识别底数、指数和结果，例如 $7^x=9$ 等价于 $x=\log_79$。遇到大数，先拆成幂再提取指数；遇到连乘对数，则换底后寻找首尾相消。

若 $2^a=3^b=m$，可由 $1/a=\log_m2$、$1/b=\log_m3$ 把条件转成同底对数。此类“指数连等”题的关键不是硬算指数，而是统一到同一个对数底数。

$\log_a0$ 没有意义；$\log_a1=0$。使用幂运算公式时还要检查等式两边的定义域是否一致。

方法总结

对数题先看限制，再做互化；化简以换底和提幂为主，方程最后必须验根。

自我检查

1. 为什么底数不能等于 $1$？ 2. 如何证明换底公式？ 3. 解对数方程时为什么可能出现增根？