第十七讲 知识大纲：对数函数（概念 · 图像 · 定义域值域 · 复合函数）
配套清洗稿：clean_transcript_class17.md ｜ 课时：8/3 第 17 讲（高一数学 X 班）
一、对数运算速查（例题 13–17）
核心公式
- 换底：logₐb = lnb/lna = log_c b / log_c a。
- 恒等式：logₐb · log_bc · log_ca = 1（换底即约完）。
- 倒数关系：若 a = log_b c，则 1/a = log_c b。
例题结论
| 题 | 关键式 / 结论 |
|---|---|
| 辨析一（2ᵃ=3ᵇ=6） | 1/a + 1/b = 1 |
| 例题 14（2a+b=ab） | a+8b 最小值 25（均值/柯西） |
| 例题 15 | log₈18 = (a+2b)/(3a)，选 B |
| 例题 16 | log₅18 = (a+2b)/(1−a)，选 B |
| 例题 17（10ᴾ=3） | P = lg3 |
二、对数函数概念
定义
- y = logₐx，a > 0 且 a ≠ 1，x 为自变量。
- 定义域 (0,+∞)，值域 R。
判定三条件
- 系数为 1（争议：系数可化入底数，如 2log₂x = log_{√2}x，也算）；
- 底数 a > 0 且 a ≠ 1；
- 真数仅含单一自变量 x。
易错（定义域优先）
- log₂(x²) ≠ 2log₂x（定义域不同：前者 x≠0，后者 x>0），不是对数函数。
三、图像与性质（速查表）
| 项目 | a>1 | 0<a<1 |
|---|---|---|
| 定义域 | (0,+∞) | (0,+∞) |
| 值域 | R | R |
| 定点 | (1,0) | (1,0) |
| 单调性 | 增 | 减 |
| 正/负 | x>1 正；0<x<1 负 | x>1 负；0<x<1 正 |
底数比大小
- 作水平线 y = 1，交点横坐标即底数 a（logₐa = 1）；从左到右底数变大。
反函数
- 图像关于 y = x 对称；(a,b) 在图像上 ⇒ (b,a) 在反函数图像上。2ˣ 与 log₂x 互为反函数。
四、判断"哪些是对数函数"
- 形如 y = logₐx 才是：③ log_{1/3}x ✓、④ log_{0.2}x ✓；其余 ✗。
- 例四：定义域 {x | x>3 且 x≠4}，选 B。
- 例五：a = 2，选 B。例七：log₂16 = 4。
五、定点与"乘 1"最值
过定点模板
- f(x) = logₐ[g(x)] + k：令 g(x) = 1 ⇒ 真数 logₐ1 = 0，定点由剩余常数得。如 logₐ(x−1)+2 过 (2,2)。
乘 1 法
- 2m+n=1 时，(2m+n)(1/m+2/n) ≥ 8 ⇒ 1/m+2/n 最小值 8，选 A。
六、单调性辨析
- 辨识十：x<0 时 |x|+1/x = −x+1/x，两减函数相加仍减，选 A。
- 辨识十一：比较大小 √5 > 5/3 > 4/5 > 1/8，选 B（图会说话）。
七、定义域与值域（必考）
速查
- 定义域为 R ⟺ 真数二次式恒正 ⟺ 开口向上且 Δ < 0。
- 值域为 R ⟺ 真数能取遍 (0,+∞) ⟺ 开口向上且 Δ ≥ 0。
口诀：定义域 R → Δ<0；值域 R → Δ≥0。
- 例 12：定义域 [2,+∞)，选 B。辨析一：{x | x>2 且 x≠3}，选 D。
八、复合函数综合（例题 20）—— 本讲最难 · 必考
三步模板（f(x) = log_{1/2}(x²−ax+a)，在 [−3,−1] 增且值域 R）
- 值域 R → Δ = a²−4a ≥ 0 ⇒ a ∈ (−∞,0] ∪ [4,+∞)；
- 同增异减 → 外层减，需内层减 → 对称轴 a/2 ≥ −1 ⇒ a ≥ −2；
- 真数>0 → t(−1) = 1+2a ≥ 0 ⇒ a ≥ −1/2。
- 综合：a ∈ [−1/2, 0] ∪ [4, +∞)，选 B。
变式五（指数+对数）
- f(x)=log₂(2ˣ−a) 存在最小值：内层下确界 −a ≥ 2 ⇒ a ≤ −2（数形结合）。
九、作业
- 写讲义 第 71 页，只做基础部分；写完必须自己对答案。