第十七讲 对数函数（概念 · 图像 · 定义域值域 · 复合函数）

来源：20260803182950-高一数学X班-逐字稿文本-1.txt 课时：2026 暑 高一数学 X 班（序班），8/3 第 17 讲（承接集合→逻辑→不等式→函数，本讲进入对数函数） 说明：已剔除课前/课间闲聊、点名、ASR 乱码；修正口语口误；按内容逻辑重排分段。

一、对数运算复习（例题 13–17）

昨天是对数第一天，今天第二天。先把对数运算的几道题（把 13 页写完）过一遍。

辨析一：已知 2ᵃ = 3ᵇ = 6，求 1/a + 1/b 两边同取 ln：a·ln2 = b·ln3 = ln6。

• 1/a = ln2 / ln6，1/b = ln3 / ln6；
• 1/a + 1/b = (ln2 + ln3) / ln6 = ln6 / ln6 = 1。

也可直接用换底：1/a = log₆2，1/b = log₆3，和为 log₆6 = 1。

例题 14：由对数恒等式化简出 2a + b = ab，求 a + 8b 的最小值 由对数运算（系数化入真数、统一底数后令真数相等）可得 2a + b = ab（a, b > 0）。

• 两边同除以 ab：1/a + 2/b = 1。
• "乘 1 法"：a + 8b = (1/a + 2/b)(a + 8b) = 1 + 16 + 8b/a + 2a/b = 17 + 8b/a + 2a/b。
• 由均值不等式：8b/a + 2a/b ≥ 2√(16) = 8，故 a + 8b ≥ 25。
• 等号当 8b/a = 2a/b 且 1/a + 2/b = 1 时成立（此时 a = 5，b = 5/2）。

答案 25；柯西不等式同样可证。

例题 15：log₈18（令 a = ln2，b = ln3） log₈18 = (ln18)/(ln8) = (ln2 + 2ln3)/(3ln2) = (a + 2b)/(3a)。选 B。

例题 16：log₅18（令 a = lg2，b = lg3） log₅18 = (lg18)/(lg5) = (lg2 + 2lg3)/(1 − lg2) = (a + 2b)/(1 − a)。选 B。

换底公式"非常之好用"，昨天作业练过的要熟。

例题 17：已知 10ᴾ = 3，求 P 两边取对数：P·ln10 = ln3 → P = ln3/ln10 = lg3。其倒数为 ln10/ln3。

对数恒等式（互为倒数的乘积） logₐb · log_bc · log_ca = (lnb/lna)(lnc/lnb)(lna/lnc) = 1。无需硬记，换底即约完。

二、对数函数概念

有了对数运算，自然推广到对数函数 y = logₐx。

定义与要点

• 形式：y = logₐx，其中 a > 0 且 a ≠ 1，x 是自变量。
• 定义域：(0, +∞)（只有正数才能取对数）；值域：R。
• 判定"是否是对数函数"三条件：① 系数为 1；② 底数 a > 0 且 a ≠ 1；③ 真数仅含一个自变量 x。

争议点（系数为 1 不必强求）

• 2·log₂x = log_{√2}x：左边换底 = 2lnx/ln2，右边 = lnx/ln√2 = lnx/(½ln2) = 2lnx/ln2，相等。故带系数 2 的也算对数函数（可把系数化入底数）。
• log₂(x²)：不是对数函数。核心五字——定义域优先：log₂x 真数只能取正，而 x² 正、负都能进，二者定义域不同，不能等同。事实上 2log₂x = log₂(x²) 仅在 x > 0 时成立。

这类"系数"争议考试碰不到，但能加深对函数同一性的理解。

三、对数函数的图像与性质

基本图像（以 log₂x、log_{1/2}x 为例）

• log₂x：过 (1,0)、(2,1)、(4,2)、(8,3)，增速越来越缓（增函数）。
• log_{1/2}x = −log₂x：关于 x 轴翻折，是减函数。

底数对图像的影响（比大小口诀） 同一坐标系中，作水平线 y = 1，它与各图像交点横坐标就是对应的底数 a（因 logₐa = 1）。从左到右，交点横坐标（底数）越来越大——即图像越靠"顺时针"方向，底数越大。

反函数（顺带提） 两函数图像关于 y = x 对称，即互为反函数。如 y = x²（x≥0）与 y = √x；指数函数 2ˣ 与对数函数 log₂x 也关于 y = x 对称。(a, b) 在图像上，则 (b, a) 在反函数图像上。此概念暂少直接用处，用到再说。

四、判断"哪些是对数函数"（例三–例七）

例三（争议题，跳过）：带系数的情形前面已讨论，不再单列。

例四：使式子有意义的 x 范围 要求真数 > 0 且相关分母/底数合法，得 x > 3 且 x ≠ 4，即 {x | x > 3 且 x ≠ 4}。选 B。

例五：求参数 a 直接代入检验得 a = 2。选 B。

例六、例七（基础代入） 按代入法：如 log₂16 = 4 等可直接算。结论：例六选 a；例七第 2 题选 a、第 3 题选 B、第 4 题 log₂16 = 4。

变式：哪些是对数函数 形如 y = logₐx（a>0，a≠1）才是：

• ③ log_{1/3}x ✓（3 的 −1 次方即 1/3）；
• ④ log_{0.2}x ✓（= log_{1/5}x，系数可化入底数）；
• 其余（真数非单一 x、或系数无法化入底数等）✗。

五、定点、待定系数与"乘 1"最值

过定点（18 页题） 形如 f(x) = logₐ(x − 1) + 2：令真数 x − 1 = 1 → x = 2，此时 logₐ1 = 0，故恒过定点 (2, 2)。这类题用"令真数为 1"的待定系数法即可。

例题（2m + n = 1，求 1/m + 2/n 的最小值） "乘 1 法"： (2m + n)(1/m + 2/n) = 2 + 4m/n + n/m + 2 = 4 + 4m/n + n/m ≥ 4 + 2√(4) = 8。 因 2m + n = 1，故 1/m + 2/n ≥ 8，最小值为 8。选 A。

六、单调性辨析（辨识十、辨识十一）

辨识十（单调性判断） 比较含 |x| 与 1/x 的函数：当 x < 0 时，|x| + 1/x = −x + 1/x，其中 −x 与 1/x 均为减函数，二者相加仍为减函数（对勾函数一侧）。按单调性选 A。

辨识十一（利用单调性比较大小） 给出四值 c₁, c₂, c₃, c₄ 分别为 √5、5/3、4/5、1/8。"图会说话"：从大到小 √5 > 5/3 > 4/5 > 1/8，选 B。

七、定义域与值域问题（例 12、例 13）—— 必考方法

对数函数 y = logₐ[g(x)] 的核心只有一句话：真数必须为正。

例 12：求定义域 直接由真数 > 0 解出 {x | x ≥ 2}（即 [2, +∞)）。选 B。

例 13（一）：定义域为 R 要求对任意 x ∈ R，真数 g(x)（二次式）恒 > 0：

• 开口向上（a > 0）且 Δ < 0。选 A。

例 13（二）：值域为 R 要求真数 g(x) 能取遍 (0, +∞) 所有正数，从而 log 才能取到整个 R：

• 开口向上且 Δ ≥ 0（此时真数取值覆盖 [0, +∞)，log 在定义域 (0,+∞) 部分即可吃满 R）。

记忆：定义域 R ⟺ Δ < 0；值域 R ⟺ Δ ≥ 0。（前者"恒正"，后者"取满正数"。）

辨析一（定义域） 由真数 > 0 且分母/底数合法，得 {x | x > 2 且 x ≠ 3}。选 D。

八、复合函数综合（例题 20 及变式）—— 本讲最难

例题 20：f(x) = log_{1/2}(x² − ax + a)，在 [−3, −1] 上单调递增，且值域为 R，求 a 的范围

分三步列条件（同增异减 + 值域 + 定义域）：

1. 值域为 R ⇒ 真数 t = x² − ax + a 的判别式 Δ = a² − 4a ≥ 0 ⇒ a ∈ (−∞, 0] ∪ [4, +∞)。
2. 复合单调性（同增异减）：外层 log_{1/2}t 是减函数，要整体在 [−3,−1] 上增，需内层 t 在同区间上减。
   • 内层 t = x² − ax + a 的对称轴 x = a/2；要在 [−3,−1] 上减，需对称轴在区间右侧：a/2 ≥ −1 ⇒ a ≥ −2。
3. 定义域（真数 > 0 恒成立）：因 t 在 [−3,−1] 上递减，最小值在 x = −1 处，需 t(−1) > 0（端点取等需斟酌）：
   • t(−1) = 1 + a + a = 1 + 2a ≥ 0 ⇒ a ≥ −1/2。

综合三步：a ∈ [−1/2, 0] ∪ [4, +∞)。选 B。

三步务必抄下来：① 值域→Δ≥0；② 同增异减定对称轴；③ 端点真数>0。

变式二–五（速算）

• 变式二：真数 ≥ 2 ⇒ log ≥ 1，整体 ≥ 3，选 C。
• 变式：x ∈ [−1, 3] ⇒ x² ∈ [0, 9] ⇒ +1 ∈ [1, 10] ⇒ 取对数 ∈ [0, 1]，选 D。
• 变式四：平移/指对互化，1→0、3→2 对应 √3，选相应项。
• 变式五（综合，指数+对数）：f(x) = log₂(2ˣ − a) 存在最小值。
  • 内层 h(x) = 2ˣ − a 单调增，当 x → −∞ 时下确界趋近 −a；要使复合有最小值（"浮出水面"），需该下界 ≥ 2（对应 y = 2 的水平线）。
  • 即 −a ≥ 2 ⇒ a ≤ −2（数形结合最直观）。

九、作业与结课

• 今日作业：写讲义第 71 页，只做基础部分；学有余力再拓展。
• 写了务必自己对答案，不对答案等于白讲。
• 未学指数/幂函数者，老师另给一本书自学。
• 本讲早约 2 分钟下课，回去把作业写完。

本讲修正 / 注意点

1. 原转写把"值域为 R"一步的端点条件口播成"1 加 2a 大于等于五"，应为 "1 + 2a ≥ 0"（即 a ≥ −1/2）——"五"是"零"的 ASR 误读，已改正；端点 x = −1 处真数须 > 0，取等是否纳入建议对照板书。
2. 例题 14 的原始对数等式在转写中严重破碎，无法还原确切题面；本稿保留老师推导出的关键关系 2a + b = ab（即 1/a + 2/b = 1） 及最小值 25 的求解，建议以课堂板书核对原题。
3. 例三（带系数的对数函数判定）老师明确"有争议、跳过"，本稿仅在第二节"争议点"中说明其逻辑，未单列为例题。
4. 例六、例七及若干变式在转写中仅留答案（如例七 log₂16 = 4），具体题面缺失，按老师口述结论记录。
5. 单调区间一律用"和"连接（如"在 [−3,−1] 上减"），未使用 ∪；取值范围均写成集合/区间形式。