第二十二讲：复合正弦函数的图像与性质

学习目标

• 掌握正弦、余弦函数的周期、单调性、最值与对称性。
• 会用整体代换研究复合正弦型函数。
• 能由区间性质反求参数 $\omega$ 的范围。

参数含义

对于

振幅为 $|A|$，周期为

值域为 $[B-|A|,B+|A|]$。$\omega$ 越大，图像越密、周期越短。

整体代换法

把 $\omega x+\varphi$ 记为 $t$，先按 $y=\sin t$ 列条件，再解关于 $x$ 的不等式或方程。

• 最值：$t=\pi/2+2k\pi$ 或 $t=-\pi/2+2k\pi$；
• 对称中心：$t=k\pi$；
• 对称轴：$t=\pi/2+k\pi$；
• 单调区间：把 $t$ 放进正弦函数的基本增减区间。

图像变换容易混淆时，不必硬背平移量；直接令整体角等于五个关键相位，算出对应的 $x$ 坐标最稳妥。

参数范围

给定真实区间上的单调性、零点数或对称轴数时，将区间端点代入相位 $\omega x+\varphi$，让相位区间卡在目标图像段的边界上。课堂称为“真实值—相位”对应法。

只检查区间起点而不检查终点，可能让图像在区间末端越过最值点，从而破坏单调性。

方法总结

复合正弦题统一把相位看作整体；性质题解整体条件，参数题让真实区间与相位区间对齐。

自我检查

1. $A,\omega,\varphi,B$ 分别控制什么？ 2. 如何用整体代换求对称轴？ 3. 参数范围题为何必须校验两个端点？